2024-2025学年湖北省武汉市第一中学高一上学期10月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市第一中学高一上学期10月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.集合，，下列不表示从到的函数的是( )
A. ： B. ：
C. ： D. ：
4.命题“对，”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )
A. B. C. D.
5.一元二次不等式的解集是空集，则实数的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
6.命题：，使得成立，若是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.若正实数、满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 ．
A. 或 B. 或
C. D.
8.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，已知函数，则函数的值域为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的为( )
A. 集合，若集合有且仅有个子集，则的值为
B. 若一元二次不等式的解集为，则的取值范围为
C. 设集合，，则“”是“”的充分不必要条件
D. 若正实数，，满足，则
10.已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是( )
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
11.下列选项中正确的是( )
A. 若，则的最小值为
B. 若，则的最大值为
C. 若，则的最小值为
D. 若，且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
13.若函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
14.已知存在，不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
求；
若是的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知不等式的解集为，求的最小值．
设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，生产百辆，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价为万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．
求出年的利润万元关于年产量百辆的函数关系式；
年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？
18.本小题分
已知．
当，时，求的取值范围；
当，时，求时的取值集合．
19.本小题分
已知实数集，定义．
若，求；
若，求集合；
若中的元素个数为，求的元素个数的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.
等价于，解得，
，
故，
则或；
是的必要条件，故，
，，
故，解得，
故的取值范围是

16.由题意得为方程的两个根，
由韦达定理得，
则，
因为，所以，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为；
，当时，，
解得，
当时，要满足，则
解得，
故实数的取值范围是．

17.解：当时，，
当时，．
综上所述，．
当时，，所以当时，当时，，在上单调递增，在上单调递减；所以当时，所以当，即年年产量为百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为万元．

18.解：当，时，，，
当时，即，，
当且仅当，即时取等号；
当时，，，
当且仅当，即时取等号；
所以的取值范围为或
当时，，即，
当时，解集为；
当时，解集为或；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；

19.解：
首先，因为，所以 ；
其次，中除了以外，还有个正数和个负数，共个元素，所以 中有个非零元素，符号为一负三正或者一正三负．
记 ，不妨设 或者 ．
当 时， ，
相乘可知 ，从而 ，
从而 ，所以 ；
当 时，与上面类似的方法可以得到 ，
进而 ，从而 ，
所以 或者 ．
估值构造 需要分类讨论 中非负元素个数．
先证明 考虑到将 中的所有元素均变为原来的相反数时，
集合 的元素个数不变，故不妨设 中正数个数不少于负数个数接下来分类讨论：
情况一： 中没有负数．
不妨设 ，则 ，
上式中除外从小到大共有个数，它们都是 的元素，这表明
情况二： 中至少有一个负数．
设 是 中的全部负元素， 是 中的全部非负元素．
不妨设 ，
其中 为正整数， ．
于是有 ，
上式中有 的 个非正数元素：另外，注意到 ，
上式中有 的个正数元素．这表明
综上可知，总有
另一方面，当 时， 中恰有个元素．
综上所述， 中元素个数的最小值为．

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