2024-2025学年河南省郑州市省级示范性高中高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年河南省郑州市省级示范性高中高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
3.直线与圆交于两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.在正方体中，是棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
5.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
6.点在直线上运动，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程即平面上任意一点的坐标满足的关系式为：用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为分别和，则这两平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知动点与两个定点的距离之比为，那么直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，，则下列结论正确的是( )
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
10.已知直线：与圆：相交于，两点，则( )
A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为
C. 圆心到直线的距离为 D.
11.已知圆，直线则以下命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B. 轴被圆截得的弦长为
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得弦长最长时，直线的方程为
12.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 夹角是 D. 直线与直线的距离是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量，且与互相垂直，则的值是 ．
14.过点且与圆：相切的直线方程为
15.九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体为鳖臑，平面，，且，则二面角的余弦值为____．
16.已知点和直线，则点到直线的距离的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知三个顶点的坐标分别是．
求的面积；
求外接圆的方程．
18.本小题分
已知直线，直线．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
19.本小题分
在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
20.本小题分
如图，在多面体中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值，
21.本小题分
一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险
22.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
证明：平面平面；
点是棱上不同于，的动点，设，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.解：三个顶点的坐标分别是，
直线的斜率，直线的斜率，
则，即．
，，
．
由，外接圆是以线段为直径的圆，
线段的中点为，半径，
所以外接圆的方程是．

18.解：因为，
所以，
整理得，
解得或，
当时，，
，重合，
当时，，
，符合题意，
故 ；
因为，
所以
解得或．

19.解：
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，，，
，，，，，，
取，，
，
则点到直线的距离为；
，
，
而平面，平面，
平面，
点到平面的 距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则
，取，则，，
，
又，
点到平面的距离为．

20.解：在正方形中，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
取的中点，连接，由，，，
所以四边形为正方形，则，，即，
又是平面内两条相交直线，
所以平面．
，，
，又平面，
易得两两互相垂直，
以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得，，，，
则，，
由知为平面的一个法向量，
设为平面的法向量，
则，得，令，解得，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
．
所以平面与平面的夹角的余弦值为．

21.解：
以小岛的中心为原点，东西方向为轴，建立如图所示的直角坐标系．
为了运算的简便，我们取为单位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置的坐标为．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线的方程为，即．
联立直线与圆的方程，得
消去，得．
由，可知方程组无解．
所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．
22.解：
由于正方形的边长为，所以．
取的中点，连接，，
由题意，得，再由，可得，即．
由题易知，又，面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
由可知，，又，
故以，，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以，，，
由题意知，所以．
所以．
设平面的法向量为，
则令，得；
设平面的法向量为，
，令，得；
则，
设，，则上式可化为，
即，所以舍去，
所以，解得．

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