2024-2025学年江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校联考高二上学期第一次月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校联考高二上学期第一次月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 143.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 08:03:01 | ||
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文档简介
2024-2025学年江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、南丰一中、金溪一中四校联考高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若方程表示椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为( )
A. B. 或 C. 或 D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知圆，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程不能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程为
10.定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”则下列直线是圆的“相关直线”的为( )
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则( )
A. 椭圆的短轴长为
B. 的最大值为
C. 离心率为
D. 椭圆上不存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程 ．
13.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
14.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件，求直线的一般方程．
过点，且与直线平行；
与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于．
16.本小题分
如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．
建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；
根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．
17.本小题分
已知圆的圆心为，且圆与直线相切．
求圆的方程：
圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的 左右顶点分别为，右焦点为，已知．
求椭圆的方程和离心率；
点在椭圆上异于椭圆的顶点，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线是一组“共轭线对”，其中是坐标原点规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．
已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；
已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，或．
13.或或填一条即可
14.
15.
与直线平行的直线，可设为，
将代入得，解得，
所以直线为：．
与直线垂直的直线可设为，
当时，当时，，
因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于，
所以，解得，
所以直线为：．
16.
以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．
椭圆的短半轴长，又，
所以，
所以半椭圆的方程为．
设第一象限内的点的横坐标为，则，．
由得，
解得，此时．
故达到最佳美观的 效果时长为．
17.
设圆的半径为，
圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离是圆的半径，
即，
所以圆的方程为．
圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则，
即，解得，
由得两圆公共弦所在直线方程为，
又两圆的公共弦长为，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，即，
所以，解得或，
又，所以，经检验符合题意，
故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为．
18.解：
如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为 ；
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组
消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以， ，
所以，，，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为．
19.设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
，
，
等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为．
设，，其中，
故
由于等号成立的条件是，
故
所以
即原点到直线的距离之积的取值范围为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若方程表示椭圆，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，若，则( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为( )
A. B. 或 C. 或 D.
6.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设，是椭圆：长轴的两个端点，若上存在点满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.已知圆，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 截距相等的直线都可以用方程表示
B. 方程不能表示平行轴的直线
C. 经过点，倾斜角为的直线方程为
D. 经过两点，的直线方程为
10.定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”则下列直线是圆的“相关直线”的为( )
A. B.
C. D.
11.已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为，则( )
A. 椭圆的短轴长为
B. 的最大值为
C. 离心率为
D. 椭圆上不存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程 ．
13.写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
14.已知直线与椭圆交于、两点，与圆交于、两点若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据下列条件，求直线的一般方程．
过点，且与直线平行；
与直线垂直，且与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于．
16.本小题分
如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上．
建立适当的直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程；
根据美学知识，当时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时的长．
17.本小题分
已知圆的圆心为，且圆与直线相切．
求圆的方程：
圆，是否存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为，若存在，求出实数的值：若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的 左右顶点分别为，右焦点为，已知．
求椭圆的方程和离心率；
点在椭圆上异于椭圆的顶点，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线是一组“共轭线对”，其中是坐标原点规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．
已知是一组“共轭线对”，求的夹角的最小值；
已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，或．
13.或或填一条即可
14.
15.
与直线平行的直线，可设为，
将代入得，解得，
所以直线为：．
与直线垂直的直线可设为，
当时，当时，，
因为与，轴的正半轴围成的三角形的面积等于，
所以，解得，
所以直线为：．
16.
以半圆的直径为轴，圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由已知，圆的半径为，则半圆的方程为．
椭圆的短半轴长，又，
所以，
所以半椭圆的方程为．
设第一象限内的点的横坐标为，则，．
由得，
解得，此时．
故达到最佳美观的 效果时长为．
17.
设圆的半径为，
圆与直线相切，
所以圆心到直线的距离是圆的半径，
即，
所以圆的方程为．
圆：的圆心为，半径为，
两个圆有公共弦，则，
即，解得，
由得两圆公共弦所在直线方程为，
又两圆的公共弦长为，则圆心到公共弦所在直线的距离为
，且，即，
所以，解得或，
又，所以，经检验符合题意，
故存在实数，使得圆与圆公共弦的长度为．
18.解：
如图，
由题意得，解得，所以，
所以椭圆的方程为，离心率为 ；
由题意得，直线斜率存在，由椭圆的方程为可得，
设直线的方程为，
联立方程组
消去整理得：，
由韦达定理得，所以，
所以， ，
所以，，，
所以，
所以，即，
解得，所以直线的方程为．
19.设的斜率为，则的斜率为，两直线的夹角为，
则，
，
，
等号成立的条件是，所以直线的夹角最小值为．
设，，其中，
故
由于等号成立的条件是，
故
所以
即原点到直线的距离之积的取值范围为．
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