2024-2025学年安徽省阜阳市太和中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年安徽省阜阳市太和中学高二上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若直线的倾斜角为，则( )
A. B. C. D.
3.第届夏季奥林匹克运动会于年月日至月日在法国巴黎举行，金牌榜前名的国家的金牌数依次为，，，，，，，，，，则这个数的分位数是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知点，，若点与点关于平面对称，则( )
A. B. C. D.
5.若，，在同一平面直角坐标系中作出直线与直线，则下列图中能表示上述两条直线的位置的是( )
A. B.
C. D.
6.已知中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取得最大值时，的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有个乒乓球每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响每次负方给胜方个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第次甲胜且第次扳手腕后游戏结束的概率为( )
A. B. C. D.
8.斗拱是中国建筑上特有的构件，是较大建筑物的柱与屋顶之间的过渡部分，用于支撑上部突出的屋檐，如图，其简化结构如图，其中，，是两两互相垂直的线段，为斗拱，满足，且，和都为钝角若，，，，且与平面所成的角为，则，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数在复平面内对应的点在直线上，则( )
A.
B. 点在第一象限
C.
D. ，是方程的两个根
10.在平面直角坐标系中，已知点，，，向量，则( )
A. 为锐角 B.
C. 点到直线的距离 D. 的面积为
11.已知直线，则下列结论正确的是( )
A. 若直线与平行，则
B. 若把绕其与轴的交点逆时针旋转，所得直线的斜率为，则
C. 若，与直线及两坐标轴的正半轴围成的四边形有外接圆，则
D. 对任意的，都存在定点，使得点到的距离为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.若点为直线上的动点，则的最小值为 ．
14.已知在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为若平面的方程为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，点为坐标原点．
Ⅰ若直线过点，且，求的方程
Ⅱ若直线过点，与轴负半轴及轴负半轴分别交于点，，且，求的值．
16.本小题分
如图，正四棱柱的底面边长为，为棱的中点，，且四棱锥的体积为．
Ⅰ求棱的长
Ⅱ证明：平面平面．
17.本小题分
已知在中，点，角的平分线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
Ⅰ求点的坐标及直线的方程
Ⅱ求点的坐标．
18.本小题分
如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．
Ⅰ用，，分别表示，．
Ⅱ若，，，求：
19.本小题分
若函数的图象上存在两个不同的点，使得对任意，都有，则称为类周期函数．
Ⅰ证明：是类周期函数
Ⅱ若是类周期函数，且，，，证明：是周期函数
Ⅲ若是类周期函数，证明：在的图象上，必存在个不同的点，使得对任意，都有．
参考答案
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15.解：Ⅰ由得直线的斜率，
因为，所以的斜率为．
又过点，
故的方程为，即．
Ⅱ因为与轴负半轴及轴负半轴分别交于点，，且，
所以可设，，
由截距式方程可得的方程为，
把代入上式，可得，所以，，
所以．
16.解：由题意可知平面，四边形是直角梯形，设，
所以，
解得，即．
Ⅱ以点为原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则即
取，得，
设平面的法向量为，则即
取，得
因为，所以平面平面．
17.解：由题可知，点是直线与直线的交点，联立解得所以点的坐标为．
设直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以，解得，
又点的坐标为，所以直线的方程为，即．
Ⅱ设点关于直线对称的点为因为直线为角的平分线，所以在直线上，
由解得所以直线的斜率为，则直线的方程为，即．
联立直线与直线的方程，得解得所以点的坐标为
18.解：如图，连接，
因为六边形是正六边形，所以，则
所以，．
Ⅱ因为六边形是正六边形，所以，又，，，
所以，，，，．
．
因为，
所以．
19.解：Ⅰ假设是类周期函数，
则，
整理得，
即，
所以则当，时满足条件，
所以是类周期函数．
Ⅱ由题意得，，
两式相减得，
用代换上式中的，得，
所以是周期为的周期函数．
Ⅲ因为是类周期函数，
所以的图象上存在两个不同的点，使得对任意，都有，
由，得，
由，得，
，得，
即，
所以，
令，得，
所以点在的图象上，且的图象关于点中心对称，
因为，所以，，
取，，则，
所以必存在个不同的点，使得对任意，都有．
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