2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表示集合和关系的图中正确的是( )
A. B.
C. D.
2.如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题，则是( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.若正实数，满足，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若实数，满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.关于的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则的最大值为
C. 若不等式的解集为，则
D. 命题“，使得”的否定为“，使得”
10.已知正数，满足，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
，；
，；
，，若且，则；
，，，若且，则．
就称集合为集合的一个“偏序关系”，以下说法正确的是( )
A. 设，则满足是集合的一个“偏序关系”的集合共有个
B. 设，则集合，，，，是集合的一个“偏序关系”
C. 设，则含有四个元素且是集合的“偏序关系”的集合共有个
D. ，，是实数集的一个“偏序关系”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，集合，则 ______．
13.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是______．
14.出入相补是指一个平面或立体图形被分割成若干部分后面积或体积的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理在下面两个图中，若，，，图中两个阴影三角形的周长分别为，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，全集．
若，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设，，，均为正数，且，证明：若，则；
已知，，为正数，且满足，证明：．
17.本小题分
已知：，：．
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；
若是的既不充分也不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为元，朱古力蜂果蛋糕单位为元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为；
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为个，花费记为．
其中，
试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
若，，，同时满足关系，，求这两种购买方案花费的差值最小值注：差值花费较大值花费较小值．
19.本小题分
已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
试判断集合，是否为集合的“期待子集”；直接写出答案，不必说明理由
如果一个集合中含有三个元素，，，同时满足，，为偶数那么称该集合具有性质对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质．
参考答案
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15.解：时，，
又，
所以，；
因为，
所以，
因为，或，
又，
当时，，解得，
当时，可得或，
所以或，
所以的取值范围或．
16.证明：因为，
又因为，，则为正数，
所以，
因此．
因为，，，当且仅当时，取等号，
又，故有．
所以，当且仅当时取等号．
17.解：由，可得，则：，
又由，整理，解得，则：．
若是的充分不必要条件，可得，
所以，等号不同时取得，解之得，即实数的取值范围是；
若是的既不充分也不必要条件，则与之间没有包含关系，
可得或，所以或，实数的取值范围是．
18.解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
，
又因为，，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以采用方案二，花费更少；
由可知，
令，则，
所以，当，即，时，等号成立；
又因为，，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以差值的最小值为，
当且仅当，，，时等号成立，
所以两种方案花费的差值的最小值为元．
19.解：因为，
对于集合，令，解得，显然，，，
所以是集合的“期待子集”；
对于集合，令，则，
因为，，，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集”；
先证明必要性：
当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，，，使得，，，
不妨设，令，，，则，即条件中的成立；
又，所以，即条件中的成立；
因为，
所以为偶数，即条件中的成立；
所以集合满足条件．
再证明充分性：
当集合满足条件时，有存在，，，满足，，为偶数，
记，，，
由得，，，由得，由得，
所以，，，
因为，，，所以，，均属于，
即集合是集合的“期待子集”．
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