2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则( )
A. B.
C. D.
2.求圆的圆心到的距离( )
A. B. C. D.
3.已知圆：截直线所得线段长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.直三棱柱，，点，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
5.如图，已知正方体的棱长为，为的中点，则点到平面的距离等于( )
A.
B.
C.
D.
6.当点到直线：为任意实数的距离取最大值时，则( )
A. B. C. D.
7.若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面三条直线：，：，：不能构成三角形，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
10.已知圆：，则( )
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在个点到直线的距离都等于
C. 若圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知动点在直线上，过点向圆引两条切线，，为切点，则的最小值为
11.已知正方体的棱长为，为的中点，为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是( )
A. B. 平面
C. 与所成角的余弦值为 D. 动点的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，方程表示圆，则______．
13.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点，点为上一点，则当 ______时，．
14.设圆满足：
截轴所得弦长为；
被轴分成两段圆弧，其弧长的比为：．
在满足条件、的所有圆中，圆心到直线：的距离最小的圆的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，圆：，直线：．
若直线与圆相切于点，求切点的坐标；
若，直线上有且仅有一点满足：过点作圆的两条切线、，切点分别为，，且使得四边形为正方形，求的值．
16.本小题分
已知坐标平面内三点，，．
求直线的斜率和倾斜角；
若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
若是线段上一动点，求：的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
18.本小题分
如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，已知，．
当时，求三棱柱的体积；
设点为侧棱上一动点，当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
19.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯的著作圆锥曲线论中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆已知点到的距离是点到的距离的倍．
求点的轨迹的方程；
过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上．
过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程．
参考答案
1.
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12.
13.
14.或
15.解：设切点为，则有，
解得或，
所以切点的坐标为或，
如图：
圆：的圆心，半径，
设，则，
由四边形为正方形，可得，即，
圆心到直线的距离为，可得，
解得或舍去，
的值为．
16.解：因为，，可得，
所以可得倾斜角为；
，，．
由题意设，由四边形为平行四边形，可得，，
即，即，
，即，
可得，，
即；
是线段上一动点，则即为线段上的点与点的斜率的范围，
，而，，
所以的取值范围．
17.解：证明：如图所示，连接，交于点，连接．
底面是正方形，点是的中点．
在中，是中位线，．
而平面且平面，
平面；
证明：底面，且平面，．
，是等腰直角三角形．
又是斜边的中线，
由底面，得．
底面是正方形，．
又，平面．
又平面，
由和推得平面．
而平面，．
又，且，平面；
由知，，故是二面角的平面角．
由知，，．
设正方形的边长为，则，，，
，，
在中，．
在中，，．
故平面与平面的夹角的大小为．
18.解：如图，取的中点为，
为菱形，且，为正三角形，
又为正三角形，且边长为，则，，
且，，，
，
，平面，
三棱柱的体积为：
；
在中，，，
由余弦定理得，
，由得，，
又，平面，
平面，平面平面，
在平面内作，则平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
设是平面的一个法向量，
则，，
则，取，得，
设，
则，
设直线与平面所成角为，
则，，
令，
令，
则在单调递增，
，
直线与平面所成角的正弦值的取值范围是
19.解：设点，由题意可得，
即，化简得，
所以点的轨迹的方程为；
由题易知直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线的斜率不存在，
易得，，则；
若，则直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当即时，取等号，
又，所以的最大值为；
证明：由题，，设，，
联立，消得，，
则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点在定直线上．
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