第三章函数概念与性质—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷（含解析）

第三章 函数概念与性质—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
一、选择题
1．已知函数的图象关于点对称,则下列函数是奇函数的是( )
A. B.
C. D.
2．下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
3．若函数在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数满足,若,则( )
A.25 B.125 C.625 D.15625
5．设,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
6．已知幂函数在上单调递增,则( )
A.3 B. C.3或 D.或
7．函数在区间的图象大致为( )
A. B.
C. D.
8．已知函数在区间上递增,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，则使函数的值域为R，且为奇函数的的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
10．定义在上的函数满足，其值域是M.若对于任何满足上述条件的都有，则实数a的取值必可以为( )
A. B. C. D.1
11．下列函数是偶函数,且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的.在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为__________.
13．若是偶函数,则________.
14．已知函数则______.
四、解答题
15．已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明其结论;
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
16．已知函数,图象经过点,且.
（1）求a,b的值;
（2）用定义法证明函数在区间上单调递增.
17．杭州市将于2022年举办第19届亚运会,本届亚运会以“绿色,智能,节位,文明”为办赛理念,展示杭州生态之美,文化之韵,充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用,从而促进经济快速发展,筹备期间,某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购,并决定大量投放当地市场,已知该种设备年固定研发成本为50万元,每生产一台需另投入80元,设该公司一年内生产该设备x万台且全部售完,每万台的销售收入(万元)与年产量x(万元)满足如下关系式:
（1）写出年利润(万元)关于年产量x(万元)的函数解析式:(利润=销售收入-成本)
（2）当年产量为多少万台时,该公司获得的年利润最大 并求最大利润.
18．已知函数
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)解方程.
19．(1)已知是二次函数,且满足,,求函数的解析式;
(2)已知,求的解析式.
参考答案
1．答案：D
解析：函数的图象关于点对称,
所以函数的图象向右平移1个单位,
向下平移一个单位后函数的图象关于点对称,
即可得.
故选:D
2．答案：B
解析：对于A选项,函数为奇函数,在定义域上无单调性,故错误;
对于B选项,函数为奇函数,当时,为减函数,故函数在定义域内为减函数,故B正确;
对于C,由于函数均为增函数,故在定义域内为单调递增函数,故C错误;
对于D选项,函数为非奇非偶函数,故错误.
故选：B.
3．答案：B
解析：由指数函数的底数要求只讨论且,
由题意得,为单调递增,
因为双勾函数在单调递减,单调递增,
所以,故;
又时,为单调递增,故;
再由,得;
综上,,
故选：B.
4．答案：C
解析：解法一:由题意取,,
可得
即知则.
解法二:令,则
,
所以,
即,所以,则.
解法三:由可构造满足条件的函数,
可以快速得到.
故选:C.
5．答案：A
解析：因为,,,又,在上单调递增,所以.综上,.
故选A.
6．答案：A
解析：因为幂函数,所以,解得或.当时,在上单调递减,不符合题意;当时,在上单调递增,符合题意.综上,.
故选A.
7．答案：B
解析：，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
8．答案：B
解析：令,则,
因为在定义域上单调递增,又函数在区间上递增,
所以,得到,
故选：B.
9．答案：BD
解析：当时，，为奇函数，但值域为，不满足条件；当时，为奇函数，值域为R，满足条件；当时，为偶函数，值域为，不满足条件；当时，为奇函数，值域为R，满足条件.故选BD.
10．答案：ABCD
解析：因为，设当时，，则，
当时，，令，当时，满足条件；
当时，，令，当时，
满足条件；
当或时，对，设，
即对于，，，
故，
而对于，，
故存在，，即，
故，C.D正确.
故选：ABCD
11．答案：BC
解析：对于A,函数定义域为,不是偶函数,A不是;
对于B,函数定义域为R,,是偶函数,且在上单调递增,B是;
对于C,函数定义域为R,,是偶函数,且在上单调递增,C是;
对于D,函数定义域为R,而,不是偶函数,D不是.
故选：BC.
12．答案：15
解析：设购买水果的总价为y,当时,易知成立;
当,则恒成立,解得恒成立.
当买两盒草莓,即时,取最小值,故x取最大值为15.
故答案为：15.
13．答案：
解析：由偶函数的定义可得,即,
即,
,
故答案为:
14．答案：4
解析：由题意知.
15．答案：(1)证明见解析;
(2)最大值为;最小值为
解析：(1)在区间上是增函数.
证明如下：
任取,,且,
,
,即.
函数在区间上是增函数.
(2)由(1)知函数在区间上是增函数,
故函数在区间上的最大值为,
最小值为.
16．答案：（1）,
（2）证明见解析
解析：（1）由题意得,
解得
（2）由（1）可知,
,,且,
,
因为,所以,
又,所以,
所以,即,所以,
所以函数在区间上单调递增.
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）由题意知:,
.
（2）由（1）知:,
时,单调递增,则;
时,,当且仅当时等号成立.
综上,当年产量为万台时,该公司获得的年利润最大为万元.
18．答案：(1)偶函数,详细见解析
(2)
解析：(1)因为且定义域为R,所以是偶函数.
(2)当时,,
去绝对值符号可得,化简可得,
解之可得或(舍),
当时,,
去绝对值符号可得,化简可得（舍）,
综上,的解为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为是二次函数,所以设.
由,得.
由,
得,
化简并整理得,
所以解得
所以.
(2)用替换中的x,得,
由,得.