第五章三角函数 —高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷（含解析）

第五章 三角函数—高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷
一、选择题
1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
2．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3．记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A.已知分针长，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动.若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y（单位：cm）与时间t（单位：min）的函数解析式为( )
A. B. C. D.
4．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，x为月份，且）.已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为( )
A. B.
C. D.
5．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为（，），如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，（），且，，则在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为( )
A. B. C. D.
6．三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流I（单位：安培）与时间t（单位：秒）满足函数关系式：（其中为供电的最大电流，单位：安培；表示角频率，单位：弧度/秒；为初始相位），该三相交流电的频率f（单位：赫兹）与周期T（单位：秒）满足关系式.某实验室使用5赫兹的三相交流电，经仪器测得在秒与秒的瞬时电流的比值为，且在秒时的瞬时电流恰好为1安培，若，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为( )
A.2安培 B.安培 C.3安培 D.2.5安培
7．时钟花原产于美洲热带，从开放到闭合与体内的一种时钟酶有关.研究表明，当气温上升到时，时钟酶活跃起来，花朵开始开放；当气温上升到时，时钟酶的活性减弱，花朵开始闭合，且每天开闭一次.已知某景区一天内的气温T（单位：℃）与时间t（单位：h）近似满足关系式，则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合经历的时间约为( )
A. B. C. D.
8．已知锐角,那么是( )
A.小于180°的正角 B.第一象限角
C.第二象限角 D.第一或二象限角
二、多项选择题
9．角的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10．下列区间中，函数在其上单调递减的是( )
A. B. C. D.
11．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A.作关于y轴对称图形 B.向左平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
三、填空题
12．已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为___________.
13．在区间内，函数与的图象的交点个数为__________.
14．若函数为奇函数，当时，，则_________.
四、解答题
15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.
问题：已知___________.
（1）求的值；
（2）当为第三象限角时，求的值.
16．已知A，B，C为的三个内角，求证：
（1）；
（2）.
17．在单位圆中画出满足下列条件的角的终边范围，并由此写出角的取值范围.
（1）；
（2）.
18．已知角.
（1）把角写成（，）的形式，并确定角的终边所在的象限；
（2）若角与的终边相同，且，求角.
19．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面是如图所示的扇形环面（由扇形OAD挖去扇形OBC后构成）.已知，，线段BA，CD与，的长度之和为30，圆心角为弧度.
（1）求关于x的函数解析式；
（2）记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：记曲线C对应的函数为，则.因为函数的图象关于y轴对称，所以，得.因为，所以.故选C.
2．答案：D
解析：因为，所以要得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，故选D.
3．答案：D
解析：如图所示，由题意得分针每分钟转，则t分钟转了，则点A的纵坐标为，点A到x轴的距离.故选D.
4．答案：D
解析：由题意得解得又最小正周期为，所以，.将代入，得，则，.因为，所以，所以.
5．答案：D
解析：因为，，，所以最小正周期，又，所以，所以，由可得，所以，，即，，因为，所以在一个最小正周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于的总时间为.故选D.
6．答案：A
解析：由题意，所以，即，所以，从而.因为在秒与秒的瞬时电流的比值为，所以，所以，所以，即.因为，所以，从而，因为在秒时的瞬时电流恰好为1安培，所以，即，解得.故选A.
7．答案：B
解析：设开始开放，开始闭合，则，又，解得.因为，所以.由，得，结合题意，得，所以，所以.故选B.
8．答案：A
解析：锐角,,,
故选：A.
9．答案：AC
解析：当时,,故为第三象限角;
当时,,故为第一象限角.
故角的终边落在第一或第三象限.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：，其定义域为，结合正弦函数的图象，可知函数在区间上单调递减，且，故选AC.
11．答案：ACD
解析：对于A，关于y轴对称，则得到的函数图象上任意一点关于y轴对称的点必在函数的图象上，即，故A正确；对于B，向左平移个单位长度，即，故B不正确；对于C，向左平移个单位长度，即，故C正确；对于D，向右平移个单位长度，即，故D正确.
12．答案：
解析：由题意得，因为实数，满足，所以所以，，，，解得，，，，所以，，.所以.
13．答案：2
解析：如图，在同一直角坐标系中，作出函数与在内的图象，可得函数与的图象有2个交点.
14．答案：
解析：因为函数是奇函数，所以，得，则时，，所以.
15．答案：（1）8
（2）
解析：方案一：选择条件①.
（1）由，得，
则.
（2）由，得.
又，则.
又为第三象限角，所以，.
.
方案二：选择条件②.
（1）由，
得，
即，即，
则.
（2）由（1）知.
又，则.
又为第三象限角，所以，.
.
方案三：选择条件③.
（1）由，
得，即，
则.
（2）同方案二.
16．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）证明：因为，
，
所以.
（2）证明：
，
所以.
17．答案：（1）图见解析，角的取值范围为
（2）图见解析，角的取值范围为
解析：（1）作直线，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，
则OA与OB及劣弧AB围成的区域（图1中的阴影部分）为角的终边在单位圆中的范围，
故满足的角的取值范围为.
（2）作直线，交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，
则OC与OD及劣弧CD围成的区域（图2中的阴影部分）为角的终边在单位圆中的范围，
故满足的角的取值范围为.
18．答案：（1）；角的终边在第二象限
（2）
解析：（1）因为，，所以.
因为角与的终边相同，所以角的终边在第二象限.
（2）因为角与的终边相同，所以.
因为，所以，可得.
又，所以，所以.
19．答案：（1）
（2）当时，铭牌的截面面积最大，为
解析：（1）根据题意，可得，，.
所以，所以.
（2）铭牌的截面面积
.
当时，，
故当时，铭牌的截面面积最大，为.