第八章 立体几何初步——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试（含解析）

第八章 立体几何初步——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试
一、选择题
1．如图,是水平放置的的直观图,则的面积为( )
A.6 B.32 C.12 D.62
2．如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面ABC,则四面体的四个面中,直角三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知圆台的上 下底面半径分别为1和3,母线长为,则圆台的体积为( )
A. B. C. D.
4．被誉为“湖北乌镇,荆门丽江”的莫愁村,位于湖北省钟祥市.高高的塔楼,是整个莫愁村最高的建筑,登楼远跳,可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台,如图所示,上底面正方形的边长约为8米,下底面正方形的边长约为12米,高约为15米,则塔楼主体的体积（单位:立方米）约为( )
A.2400 B.1520 C.1530 D.2410
5．已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面,则( )
A.若,,,则
B.若,,,则
C.若,则
D.若,,则
6．已知某圆锥的侧面积为,轴截面面积为1,则该圆锥的母线与底面所成的角为( )
A. B. C. D.
7．已知m是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
8．已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则下列结论成立的是( )
A.平面PCD B.平面PDA C.平面PBA D.平面PBC
10．如图，正方体的棱长为1，动点P在对角线上，过P作垂直于的平面，记平面与正方体的截面多边形（含三角形）的周长为L，面积为S，，，下面关于函数和的描述正确的是( )
A.最大值为；
B.在时取得极大值；
C.在上单调递增，在上单调递减；
D.在上单调递增，在上单调递减
11．如图,在棱长为2正方体中,E,F,G,H分别是,,CD,BC的中点,则下列说法正确的有( )
A.E,F,G,H四点共面
B.BD与EF所成角的大小为
C.在线段BD上存在点M,使得平面EFG
D.在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．在三棱锥中,,,D为AC的中点,平面ABC,且,则三棱锥外接球的表面积为________________________.
13．已知m,n是两条不同的直线,、是两个不重合的平面,给出下列命题:
①若,,,则;
②若m,,,,则;
③是两条异面直线,若,,,,则.
上面的命题中,真命题的序号是________.（写出所有真命题的序号）
14．如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若P为棱的中点，则直线与直线所成的角为________.
四、解答题
15．如图,在几何体中,平面平面ABCD,四边形ABCD为正方形,四边形为平行四边形,四边形为菱形,,,,E为棱的中点,点F在棱上,平面BDF.
(1)证明平面ABCD；
(2)求平面与平面BDF夹角的余弦值.
16．如图,在三棱柱中,,,分别是,的中点.
(1)求证：平面
(2)若,求证：平面平面.
17．在正三棱柱中，M，O分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面.
18．如图,已知点P是平行四边形所在平面外的一点,E、F 分别是、上的点且E、F分别是、的中点.求证：平面.
19．已知三棱锥中,底面,,D,F分别为,的中点,于 E.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面平面.
参考答案
1．答案：C
解析：由斜二测画法特点得,
为直角三角形,
,
故选:C.
2．答案：D
解析：因为平面ABC,平面ABC,平面ABC,平面ABC
所以,,,
所以,为直角三角形,
又因为AB是圆O的直径,所以,为直角三角形
因为,平面PAC,平面PAC
所以平面PAC
又平面PAC,
所以,为直角三角形
综上,四面体的四个面都是直角三角形.
故选:D
3．答案：A
解析：因为圆台的上 下底面半径分别为1和3,母线长为,
所以圆台的高,
所以圆台的体积.
故选：A.
4．答案：B
解析：由题意,正四棱台的上底面边长约为8米,下底面边长约为12米,高约为15米,
可得正四棱台的上底面面积为64平方米,下底面面积为144平方米,
则塔楼主体的体积约为立方米.
故选:B.
5．答案：D
解析：对于A,若,,,则m,n可能平行,也可能异面,A错误;
对于B,若,,,则可能有,也可能有,B错误;
对于C,若,则有可能是,也可能,C错误,
对于D,根据线面平行的性质定理可知若,,则,正确,
故选：D.
6．答案：C
解析：设圆锥的母线为,底面半径为,高为,
由题意可得:,解得,
设该圆锥的母线与底面所成的角为,则,
可得,所以该圆锥的母线与底面所成的角为.
故选:C.
7．答案：D
解析：选项A：根据给定条件有或；
选项B：根据给定条件有或；
选项C：根据给定条件有m与的位置可能平行、相交或m在内；
选项D：因为，所以存在直线使得，
又因为，所以，因为，所以.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为圆锥的底面半径是1，高为，
所以圆锥的母线长为，
所以圆锥的侧面积为.
故选：D
9．答案：AB
解析：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,所以点O为BD的中点,在△PBD中,因为点M是PB的中点,所以OM是的中位线,,平面PCD,平面PCD,平面PCD,故A正确;
平面PDA,平面PDA,平面PDA,故B正确;
因为MPB,平面PBC,平面PAB,所以OM与平面PAB,平面PBC相交,故CD错误;
故选:AB.
10．答案：AD
解析：当时，截面为等边三角形，如图：
因为，所以，
所以：，，.
此时，在上单调递增，且，.
当时截面为六边形，如图：
设，则
所以六边形的周长为：为定值；
做平面于，平面于.
设平面与平面所成的角为，则易求.
所以，
所以，
在上递增，在上递减，
所以截面面积的最大值为，此时，即.
所以在上递增，在上递减.时，最大，为.
当时，易得：
，
此时，在上单调递减，，.
综上可知：AD是正确的，BC错误.
故选：AD
11．答案：AD
解析：以A为原点,以AB,AD,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,,,
设,
则,
所以,解得,
故,即E,F,G,H四点共面,故A正确;
因为,,
所以,
所以BD与EF所成角的大小为,故B错误;
假设在线段BD上存在点M,符合题意,
设,则,
若平面EFG,则,,
因为,,
所以,此方程组无解,
所以在线段BD上不存在点M,使得平面EFG,故C错误;
因为,所以,
又平面EFG,平面EFG,所以平面EFG,
故上的所有点到平面EFG的距离即为B到平面EFG的距离,是定值,
又的面积是定值,
所以在线段上任取一点N,三棱锥的体积为定值,故D正确;
故选：AD.
12．答案：
解析：在中,,,
由余弦定理得,
所以,设的外接圆的半径为r,
则由正弦定理得,解得
结合图形解题思路：

因为D为AC的中点,平面ABC,且,
在中,,,
又,则圆心到D点的距离为,
另设三棱锥的外接球球心O到平面的距离为,设外接球的半径为R,
则中,,即,
直角梯形中,,即,
解得,,所以.
故答案为：.
13．答案：③
解析：若,,,则m与n平行或异面,故①错误;
m,,,,但m与n不一定相交,不一定成立,故②错误;
m,n是两条异面直线,若,,,,
则过m的平面与平面相交于直线,有,过n的平面与平面相交于直线,
有,m,n异面,,一定相交,,,,,
如图所示,由面面平行的判定可知,故③正确.
故答案为:③.
14．答案：/
解析：设E，F分别为棱，的中点，连接，，，，如图所示，
因为E，F分别为棱，的中点，
所以，
又因为P为棱的中点，F为棱的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以为直线与直线所成的角（或其补角）.
设正三棱柱的棱长为，则
，，
，
，
，
所以，即，
所以，
故直线与直线所成的角为.
故答案为：.
15．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图,连接.因为四边形为菱形,,
所以,所以.
因为,，所以,所以.
又,，
所以平面,所以，，
因为四边形为菱形,且,所以，
因为E为棱的中点,所以.
又,所以.
因为,所以平面ABCD.
（2）以D为坐标原点,，，分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
易知,所以,,,,,.
所以,,,,,
设,则.
因为平面BDF,所以存在唯一的,,
使得.
所以，,,解得,
所以,,
设平面BDF的法向量为,
则所以
取,则,,
所以平面BDF的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则所以
取,则,,
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面BDF的夹角为,
则,
故平面与平面夹角的余弦值为.
16．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)连结,.
在三棱柱中,,且,
所以四边形是平行四边形,
因为E是的中点,所以E也是中点,
又因为D是的中点,所以
又平面,平面,
所以平面.
(2)由(1)知,因为,所以,
在三棱柱中,,四边形是平行四边形,
因为,所以,
所以平行四边形是菱形,
所以,
又因为,,,平面,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面.
17．答案：(1)证明见解析；
(2)证明见解析
解析：（1）
取的中点D，连接，，
因为O为的中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为为直三棱柱，
所以平面，因为面，
所以，
因为为等边三角形，所以，
又，平面，
所以平面，又，
所以平面.
18．答案：证明见解析.
解析：因为在平行四边形中,F是的中点,
所以F是的中点,
因为E是的中点,所以,
又平面,平面,
所以平面.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)底面,底面,;
又,D为的中点,
,
又,平面,,
平面,平面,
,又,,平面,,
平面;
(2)由平面知,;又D,F分别为,的中点,
是的中位线, , ,即,
由平面可知,,,
为平面与平面的二面角,又,
平面平面.