第六章 平面向量及其应用——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试（含解析）

第六章 平面向量及其应用——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试
一、选择题
1．平面上的三个力,,作用于一点,且处于平衡状态.若,,与的夹角为,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
2．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知,P为弧AC上的一点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,满足与的夹角为,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4．若正三棱锥的所有棱长均为a，则该三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5．在中，，，，则角B的大小为( )
A. B. C.或 D.
6．如图,在中,点D在线段BC上,,如果,那么( )
A., B., C., D.,
7．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,则角A为( )
A. B. C. D.
8．在中，点D在边上，且，E为的中点，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在钝角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，那么c的值可能为( )
A.1 B. C.2 D.4
10．所在平面内一点O满足，则下列选项正确的是( )
A.
B.延长交于点M，则
C.若，且，则
D.若，则
11．在中,已知,,,则角A的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知，，，则_________.
13．在中，已知，P为线段的中点，若，则________.
14．已知,,且与的夹角为钝角,则实数k的取值范围为___________.
四、解答题
15．记锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
（1）求A.
（2）若,求的面积.
16．设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
(1)求B;
(2)若的面积为,求的周长.
17．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c满足.
(1)求B的大小;
(2)若,的面积为,求的周长.
18．在中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边，请在①；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
（1）求角A的大小；
（2）如图，若为锐角三角形，且其面积为，且，，线段BM与线段CN相交于点P，点G为重心，求线段GP的取值范围.
19．设向量，，.
(1)求向量；
(2)若，求实数k的值.
参考答案
1．答案：A
解析：三个力平衡,
,
.
设与的夹角为,则,
即,
解得
故选：A.
2．答案：C
解析：如图所示,
以B为坐标原点,直线BC为x轴,过点B且垂直于BC的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则,,由,得,所以,,
所以.
故选:C.
3．答案：D
解析：设,由题得,
所以,
,所以,
所以,又,
所以,
故选:D.
4．答案：C
解析：正三棱锥的所有棱长均为a，
则正三棱锥的各个面都是边长为a的等边三角形，
等边三角形的高为，
则该三棱锥的表面积为.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为，，，
由正弦定理，即，所以，
又，所以，则.
故选：A
6．答案：A
解析：,
;
,
;
,.
故选:A.
7．答案：C
解析：将代入中得.
由,得,
故选:C.
8．答案：C
解析：如图所示：
因为，所以，
得，
得，
得，
故选：C
9．答案：BCD
解析：若B为钝角，则，且，
即，BC满足；
若C为钝角，则，且，
即，D满足；
故选：BCD
10．答案：BCD
解析：选项A：，，故A错；
选项B：延长交于点M，设，，
所以，
由，得，
所以，
即，解得：，则，故B正确；
选项C：，，延长交于点M，
，，由B选项知，，
故C正确；
选项D：由，，
两边平方得，，
，故D正确.
故选：BCD
11．答案：AC
解析：由正弦定理得,得,
因为,且,所以或.
故选：AC.
12．答案：
解析：因为，，，
所以，，
所以.
故答案为：.
13．答案：10
解析：根据题意，在中，已知，则，
由于P为线段的中点，
则，
又，、不共线，故，，
所以．
故答案为：10.
14．答案：
解析：
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由,得,即,
,,则,
由正弦定理得,又,所以.
（2）由余弦定理,得,而,
得,即,的面积为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,由正弦定理可得,
且,
即,整理可得,
且,则,可得,即,
且,所以.
(2)因为的面积为,则,
又因为,可得,
由正弦定理,可得,,,
其中R为的外接圆半径,
则,即,
可得,则,
由余弦定理可得,
即,解得,
所以的周长为.
17．答案：(1)
(2)9
解析：(1)因为,可得,
由余弦定理得,
又由正弦定理得,
因为,所以,所以,所以,
又因为,所以.
(2)由三角形的面积公式,可得,可得,
又由余弦定理得,
因为,所以,解得,
所以的周长为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）若选①，因为，由正弦定理可得，，化简可得
，又因为，则，，
故.
若选②，因为，由正弦定理可得，，
且，则，且，
所以，其中，
所以，则.
（2）由题意可得，，
所以，
因为C、N、P三点共线，故设，
同理M、B、P三点共线，故设，
则，解得，
所以，
则，
因为，所以，
又因为为锐角三角形，
当C为锐角，则，即，
即，所以；
当B为锐角，则，即，
则，即，所以；
综上可得，
又因为，
则
，
因为，则，
且在上单调递减，，
所以，即，
所以.
19．答案：(1)
(2).
解析：（1）因为，，
则；
（2）因为，
若，
则，
解得.