第七章 复数——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试（含解析）

第七章 复数——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试
一、选择题
1．已知复数，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2．若,则( )
A.1 B. C. D.
3．复数为虚数单位）的虚部为( )
A.1B.-B.-1C.iC.i D.
4．已知复数z满足,则z的共轭复数在复平面中的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5．棣莫弗公式（其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6．已知复数z满足,则z的虚部为( )
A.1 B. C. D.
7．复数的虚部是( )
A. B. C. D.
8．已知复数z满足，则( )
A.i B. C. D.
二、多项选择题
9．已知复数，的共轭复数分别为，，则下列命题为真命题的有( )
A. B.
C.若，则 D.若，则或
10．在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则( )
A. B. C. D.
11．己知复数的虚部与的实部均为2,则下列说法正确的是( )
A.是虚数
B.若,则
C.若,则与对应的点关于x轴对称
D.若是纯虚数,则
三、填空题
12．_____________.
13．若复数在复平面上对应的点位于第二象限,则m的取值范围是__________.
14．若复数z满足,则__________.
四、解答题
15．如图所示，已知平面内并列八个全等的正方形，利用复数证明：.
16．被称为“欧拉公式”，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则我们可以简化复数乘法.
（1）已知，，求；
（2）已知O为坐标原点，，，且复数，在复平面上对应的点分别为A，B，点C在上，且，求；
（3）利用欧拉公式可推出二倍角公式，过程如下：
，所以，.
类比上述过程，求出，.（将表示成的式子，将表示成的式子）（参考公式：）
17．计算的5次方根.
18．已知复数z满足.
（1）求z；
（2）比较与的大小.
19．在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母"Re"表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母"Im"表示一个复数的虚.部.如：，，，.已知复数z是方程的解.
（1）若，且（a，，i是虚数单位），求；
（2）若，复数，，且，，求t的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：易知，
所以，虚部为.
故选：A.
2．答案：D
解析：由得,所以,
故选:D
3．答案：B
解析：复数的虚部是-1.
故选：B.
4．答案：D
解析：,故,其对应的点为,
该点在第四象限,
故选:D.
5．答案：B
解析：，
在复平面内所对应的点为，在第二象限.
故选：B.
6．答案：A
解析：,
则,则其虚部为1.
故选:A.
7．答案：B
解析：,则其虚部为.
故选:B.
8．答案：D
解析：根据题意，.
故选：D
9．答案：ABD
解析：设，且，则，，
，
所以，所以，故A正确；
，故B正确；
当，时，满足，但不能得出，故C错误；
因为，
所以，则或，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，
则，故B正确;
，解得，故A错误，
，故C错误;
，故D正确.
故选:BD.
11．答案：ABD
解析：可设复数,
A选项:根据虚数定义可知A正确.
B选项:,所以,则,所以,,
所以,故B不正确.
C选项:若,所以,所以,,所以,对应的点分别为和,则关于x轴对称,故C正确.
D选项:因为,且是纯虚数,所以,
所以,,则,所以,故D正确.
12．答案：
解析：.
故答案为：.
13．答案：
解析：复数在复平面上对应的点位于第二象限.
可得解得.
故答案为：.
14．答案：1
解析：因为,
所以,
所以.
故答案为：1.
15．答案：证明见解析
解析：证明：如图，建立平面直角坐标系（复平面）.
，，
，，
所就是乘积的辐角.
而，
所以，
又因为，，，均为锐角，
于是，
所以.
16．答案：（1）
（2）
（3），
解析：（1）由题意可知：
.
（2）因为，，则点，，可得，，
则，
所以.
（3）由题意可得：
，
所以，.
17．答案：，，1，2，3，4
解析：设的5次方根为，，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5个复数，记为，，1，2，3，4.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）设，
则由，得，
即，所以
解得，，
所以.
（2），
，
因为，
所以，
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）是方程的根，.，，，，解得.
（2），.又，
.
，，解得，的取值范围为.