第十章 概率——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试（含解析）

第十章 概率——高一数学人教A版（2019）必修二单元测试
一、选择题
1．集合，，从A，B中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是( )
A. B. C. D.
2．某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入,小军、小明从不同的大门进入公园游玩,游玩结束后,他们随机地从其中一个大门离开,则他们恰好从同一个大门出去的概率是( )
A. B. C. D.
3．从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，则这2个球的编号之和为偶数的概率是( )
A. B. C. D.
4．甲、乙两人独自破译密码,两个人都成功地破译密码的概率为0.3,甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2,则甲成功破译密码的概率为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.06 D.
5．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件A，B，其中，，，，则( )
A. B. C. D.
6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A. B. C. D.
8．在空间直角坐标系中,平面、平面、平面把空间分成了八个部分.在空间直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合,这样的点共有m个,从这m个点中任选2个,则这2个点不在同一个部分的概率为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．从1，2，3，，9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有( )
A.“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B.“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数”
C.“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D.“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”
10．下列说法不合理的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,意即每掷6次就有一次掷得点数6.
B.抛掷一枚硬币,试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率.
C.某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的区域下雨.
D.随机事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大.
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是( )
A.2个球都是红球的概率为
B.2个球不都是红球的概率为
C.至少有1个红球的概率为
D.2个球中恰有1个红球的概率为
三、填空题
12．同时抛掷两颗质地均匀的骰子,则两颗骰子出现的点数之和为4的概率为________;
13．某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立．某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________.
14．已知随机事件A,B,事件A和事件B是互斥事件,且,,则________.
四、解答题
15．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
（1）当漏诊率时，求临界值c和误诊率；
（2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值.
16．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率.
（2）求第i次投篮的人是甲的概率.
（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，，则，记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求.
17．在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲 乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为.
（1）若，求第一天比赛的总场数为4的概率；
（2）若，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率.
18．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求m与n的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.
19．某课程考核分理论与试验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”.若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9，0.8，0.6；在试验考核中合格的概率分别为0.8，0.7，0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响.
（1）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
（2）求这三个人该课程考核都合格的概率.（结果保留三位小数）
参考答案
1．答案：B
解析：从A，B中各取一个数，则这两数之和可能为
，，，，，，
共有6个可能的结果，其中两数之和等于5的有2个，
则从A，B中各取一个数，这两数之和等于5的概率是
故选：B
2．答案：C
解析：如图,
由树状图可知,共有16种等可能结果,其中小军、小明恰好从同一个出口出该公园的有4种等可能结果,
所以小军、小明恰好从同一个出口出该公园的概率为,
故选:C.
3．答案：A
解析：从编号为1、2、3、4的4球中，任取2个球，一共有以下情况：
，，，，，，共6种情况，
其中这2个球的编号之和为偶数的情况有，，共2种情况
故这2个球的编号之和为偶数的概率为.
故选：A.
4．答案：A
解析：因为甲、乙两人独自破译密码,故甲、乙两人破译密码为独立事件.
设甲 乙 两人独立破译的事件分别记为A,B,则,,
则,,
解得:.
故选:A.
5．答案：B
解析：，，，，则，
则.
故选：B
6．答案：C
解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选C.
7．答案：D
解析：从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，共7种，故所求概率.故选D.
8．答案：B
解析：由题意得,从这m个点中任选2个,共有种选法,
在坐标系同一部分的点的横坐标、纵坐标、竖坐标的正负均相同,
所以八个部分中的点的个数分别为,,,,2,2,2,1
从这27个点中任选2个,若这2个点在同一个部分,
概率为
所以这2个点不在同一个部分的概率为.
故选：B.
9．答案：AD
解析：从1~9中任取三数，按这三个数的奇偶性分类，有四种情况：
（1）三个均为奇数；
（2）两个奇数一个偶数；
（3）一个奇数两个偶数；
（4）三个均为偶数，
所以选项A、D是互斥但不是对立事件，选项C是对立事件，选项B不是互斥事件.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：在A中,抛掷一枚质地均匀的骰子,点数为6的概率是,意即每掷6次就可能有一
次掷得点数6,故A错误;
在B中,抛掷一枚硬币,由概率的定义得:试验200次出现正面的频率不一定比100次得
到的频率更接近概率,故B正确;
在C中,某地气象局预报说,明天本地下雨的概率为80%,是指明天本地有80%的可能性
会下雨,故C错误;
在D中,随机事件A,B中至少有一个发生的概率不一定比A,B中恰有一个发生的概率
大,如掷一枚骰子一次,向上的点数是偶数,掷一枚骰子一次,向上的点数是奇数,
则A,B中至少有一个发生的概率的概率是1,A,B中恰有一个发生的概率也是1,故D错误.
故选:ACD.
11．答案：ACD
解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件,从“乙袋中摸出一个红球”为事件,
则,,
对于A选项,2个球都是红球为,其概率为,故A选项正确,
对于B选项,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,故B选项错误,
对于C选项,2个球至少有一个红球的概率为,故C选项正确,
对于D选项,2个球中恰有1个红球的概率为,故D选项正确.
故选:ACD.
12．答案：
解析：同时抛掷两枚质地均匀的骰子,基本事件共有个;
设两枚骰子点数之和为4为事件,则事件包含:,,共3个基本事件,
所以.
故答案为:
13．答案：
解析：设该新生“进入篮球社团”为事件A，“进入电子竞技社团”为事件B，“进入国学社团”为事件C，
则：“三个社团他都能进入”的概率为，
“至少进入一个社团”的概率为，
整理得到，故，
故答案为：.
14．答案：0.6/
解析：事件A和事件B是互斥事件,且,,
则
故答案为:0.6
15．答案：（1）；
（2）；0.02
解析：（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，
所以，所以，解得，
.
（2）当时，
；
当时，
，
故
所以在区间的最小值为0.02.
16．答案：（1）0.6
（2）
（3）
解析：（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则，
所以
.
（2）设第i次投篮的人是甲的概率为，
由题意可知，，，
即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以.
（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为，则的可能取值为0或1，
当时，表示第i次投篮的人是乙，当时，表示第i次投篮的人是甲，
所以，，所以.
，
则，
由（2）知，，
所以
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）若第一天比赛的总场数为4，且甲获胜，
故前3场甲赢了2场，第4场甲获胜，则概率为，
若第一天比赛的总场数为4，且乙获胜，
故前3场乙赢了2场，第4场乙获胜，则概率为，
故第一天比赛的总场数为4的概率为；
（2）设决出最终冠军时比赛的总场数为Y，
其中Y最小为6，即决赛第一天和第二天均比赛3场结束，且两场均为甲胜或乙胜，
故，
当时，即决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了4场，另一天比赛了3场，
其中比赛了4场的概率为，比赛了3场的概率为，
结合可能第一天比赛了4场，可能第二天比赛了4场，且可能甲胜，可能乙胜，
则，
当时，分为三种情况，
第一种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且两天均比赛了4场，
此时概率为，
第二种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了5场，另一天比赛了3场，
此时概率为，
第三种，决赛第一天和第二天，甲乙分别胜一场，且两天均比赛了3场，
决赛第三天比赛了2场，甲胜或乙胜，
此时概率为
则，
故.
18．答案：（1），；
（2）.
解析：（1）依题，解得
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件A，
则；；.
故.
19．答案：（1）0.876；
（2）0.218
解析：（1）记“甲理论考核合格”为事件，“乙理论考核合格”为事件，“丙理论考核合格”为事件，记事件为的对立事件，.
记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，则
（2）记“甲实验考核合格”为事件，“乙实验考核合格”为事件，“丙实验考核合格”为事件.
记“三个人该课程考核都合格”为事件D.