2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间两个角，的两边分别对应平行，且，则为( )
A. B. C. D. 或
2.若直线不垂直于平面，那么平面内( )
A. 不存在与垂直的直线 B. 只存在一条与垂直的直线
C. 存在无数条直线与垂直 D. 以上都不对
3.若直线与平面所成角为，直线在平面内，且与直线异面，则直线与直线所成的角的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.正方体有六个面，每个面有两条对角线，则这十二条对角线所在的十二条直线中，可以组成异面直线( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.直线与平面所成角的范围是______．
6.“平面经过直线”用集合符号语言可表示为______．
7.若两直线、与面所成的角相等，则与的位置关系是______．
8.已知斜线段长是它在平面上的射影长的倍，则斜线与平面所成的角为______．
9.在空间四边形的边与对角线六条边所在的直线中，异面直线共有______对
10.如图所示，正四面体的棱长为，则点到平面的距离为______．
11.在正方体中，若是的中点，则直线与平面所成
角的大小为______．
12.如图，平面，在中，，，，则角，，的余弦值之间的关系可以是______．
13.已知直角三角形中，，，若平面，且，则到斜边的距离为______．
14.如图，在直角梯形中，，，且为的中点，，分别是，的中点，将三角形沿折起，则下列说法正确的是______写出所有正确说法的序号
不论折至何位置不在平面内，都有平面；
不论折至何位置不在平面内，都有；
不论折至何位置不在平面内，都有；
在折起过程中，一定存在某个位置，使．
15.在长方体中，对角线与棱，，所成的角分别为，，，与平面，平面，平面所成的角分别为，，，则下列说法中正确的是______．
；
；
；
16.空间给定不共面的，，，四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：，，，中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的倍，这样的平面的个数是______个．
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图所示，在正方体中，是棱的中点．
Ⅰ求直线与平面所成的角的正弦值；
Ⅱ在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，．
Ⅰ求异面直线与所成角的余弦值；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
求证：平面；
若，求与平面成角的正弦值；
设点为的中点，过点，的平面与棱交于点，且平面，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.平面
7.平行或相交或异面
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：Ⅰ如图，取的中点，连接，，
因为是的中点，四边形为正方形，
所以．
又在正方体中，平面，
所以面，
从而为直线在平面上的射影，
是直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为，则，，
于是在中，，
即直线与平面所成的角的正弦值为．
Ⅱ在棱上存在点，使平面，
事实上，如图所示，分别取和的中点，，连接，，，，
因，且，
所以四边形为平行四边形，
因此，又，分别为，的中点，
所以，从而，
这说明，，，共面，所以平面
因四边形与皆为正方形，，分别为和的中点，
所以，且，
因此四边形为平行四边形，
所以，
又不在平面内，平面，
故平面．
18.Ⅰ解：由已知，
故或其补角即为异面直线与所成的角，
因为平面，在平面上，
所以，
在中，由已知，得，
故，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
Ⅱ证明：因为平面，在平面上，
所以，
又因为，所以，
又，，，均在平面上，
所以平面；
Ⅲ解：过点作的平行线交于点，连接，如图，
则与平面所成的角等于与平面所成的角，
因为平面，故为在平面上的射影，
所以为直线和平面所成的角，
由于，，
所以四边形为平行四边形，
故BF，
由已知，得，
因为平面，在平面上，
，又，
故BC，
，
在中，可得．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面．
解：因为，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成角的平面角，
在中，，
在中，，
所以．
解：因为平面，平面平面，平面，
所以，
因为点为的中点，
所以点为的中点，
所以．
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