2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨九中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列表示正确的是( )
A. B. C. D.
2.若集合，则应满足( )
A. B. C. D.
3.对于集合，，若不成立，则下列理解正确的是( )
A. 集合的任何一个元素都属于 B. 集合的任何一个元素都不属于
C. 集合中至少有一个元素属于 D. 集合中至少有一个元素不属于
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若命题：，是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
7.几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明下图是我国古代数学家赵爽创作的弦图，弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形的直角边长分别为和，则该图形可以完成的无字证明为( )
A. B.
C. D.
8.若函数的部分图象如图所示，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示不同函数的是( )
A. B. ，
C. D.
10.已知，，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若且，则
11.已知集合，，则可能是( )
A. B.
C. 或 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则______．
13.若正数，满足，则的最小值是________．
14.表示不大于的最大整数，例，，则的的取值范围______，方程的解集是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的解析式．
求；
若，求的值；
画出的图像，并写出函数的单调区间和值域直接写出结果即可．
17.本小题分
已知关于的不等式的解集为，求的解集；
若不等式对于任何实数恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，且，．
求的解析式；
已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数，若和只有一个是真命题，求实数的取值范围．
19.本小题分
若存在实数使得，则称是区间的一内点．
若是区间的一内点，求的值；
求证：的充要条件是存在，使得是区间的一内点；
给定实数，若对于任意区间，是区间的一内点，是区间的一内点，且不等式和不等式对于任意、都恒成立，求证：．
参考答案
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15.解：由题意得，解得，则；
因为，
当时，，解得，满足题意；
当时，因为，所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
16.解：函数的解析式．
，；
，
可得，解得，，解得舍去，，解得，
综上或．
画出函数的图象如图：
；
由图可知，函数的增区间，减区间为；
的最大值为函数的值域．
17.解：因为不等式的解集为，
所以为方程的两个根，
则，解得，，
所以不等式即为，解得，
故不等式的解集为；
因为不等式对于任何实数恒成立，
当，即时，不等式为，不符合题意；
当，即时，
则，解得．
综上所述，实数的取值范围为．
18.解：因为，则的对称轴是，解得，
又因为，所以．
若为真，，则对任意的恒成立，
可知的图象开口向上，对称轴为，
可知在内单调递减，且，则；
若为真，，可知的图象开口向上，对称轴为，因为在内是单调函数，则或，解得或；
若或为真命题，且为假命题，则与真假性相反，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为．
19.解：依题意，，
解得；
证明：若，取，则，且，
则是区间的一内点；
若是区间的一内点，
则存在实数使得，则；
故的充要条件是存在，使得是区间的一内点；
证明：因为是区间的一内点，则，
则恒成立，
则恒成立，
当时，上式不可能恒成立，
因此，
所以，
即，即，
同理，
故．
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