2024-2025学年广东省广州市培英中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市培英中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为( )
A. B. C. D.
2.下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
3.从，，，，中随机选取个不同的数，则所选的个数中恰好有个数是质数的概率为( )
A. B. C. D.
4.如果三点，，在同一条直线上，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.如图，已知电路中个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
A. B. C. D.
6.利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的件产品，其中一等品有件，合格品有件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件为“是一等品”，为“是合格品”，为“是不合格品”，则下列结果错误的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在正四棱柱中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则异面直线与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 若事件与事件是互斥事件，则
B. 若事件与事件是对立事件，则
C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄张纸牌随机分给甲、乙、丙人，每人分得张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
10.若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，则( )
A.
B. 是平面的一个法向量
C. 点到平面的距离为
D. 直线到直线的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______．
13.已知是空间的一个基底，且实数，，使，则 ______．
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则甲队以：获胜的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平行六面体中，，．
求体对角线的长度；
求证：四边形为正方形．
16.本小题分
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为
求频率分布直方图中的值；
估计该企业的职工对该部门评分不低于的概率；
从评分在的受访职工中，随机抽取人，求此人评分都在的概率．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，面，，，，点是线段中点．
求证：平面；
若，求二面角的余弦值．
18.本小题分
甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀，规定每局中：
三人出现同一种手势，每人各得分；
三人出现两种手势，赢者得分，输者负分；
三人出现三种手势均得分当有人累计得分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响．
求甲在一局中得分的概率；
求游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率；
求游戏经过两局就结束的概率．
19.本小题分
我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线如图，在菱形中，，将沿翻折，使点到点处，，分别为，，的中点，且是与的公垂线．
证明：三棱锥为正四面体；
若点，分别在，上，且为与的公垂线．
求的值；
记四面体的内切球半径为，证明：．
参考答案
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15.解：在平行六面体中，
，
由，，
得，
所以
；
证明：在平行六面体中，
，，故四边形为平行四边形，
由，，得是等边三角形，
即，则平行四边形为菱形，
又，
则，即，
所以四边形为正方形．
16.解：因为，
所以．
由所给频率分布直方图知，
名受访职工评分不低于的频率为．
所以该企业职工对该部门评分不低于的概率的估计值为．
受访职工中评分在的有：人，记为，，；
受访职工中评分在的有：人，记为，，
从这名受访职工中随机抽取人，所有可能的结果共有种，
它们是，，，，，，，，，．
又因为所抽取人的评分都在的结果有种，即，
故所求的概率为．
17.证明：取的中点，连接，，
是线段中点，，且，
，，，且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
解：平面，，平面，，，
，，则，，两两垂直，
故以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，
，，不妨设，
则，
，
设平面的法向量为，
由，取，得，
平面，平面的一个法向量为，
，
结合图形可知二面角的平面角为锐角，
可得二面角的余弦值为．
18.解：根据题意画出树状图，如图：
每局共有种情况，其中甲在一局中得分的情况有出手顺序按甲乙丙：
剪刀、剪刀、布，剪刀、布、剪刀，剪刀、布、布，石头、石头、剪刀，石头、剪刀、石头，
石头、剪刀、剪刀，布、布、石头，布、石头、布，布、石头、石头，有种情况，
甲在一局中得分的概率．
游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的情况有种：
第一局甲得分，第二局甲得分，则第一乙丙得负一分，第二局得分，
由中树状图得满足情况有：
第一局：剪刀、布、布，石头、剪刀、剪刀，布、石头、石头，
第二局：剪刀、剪刀、剪刀，布、布、布石头、石头、石头，
此时概率为；
第一局甲得分，第二局甲得分，则第一局乙丙得负分，
由种树状图得满足情况有：
第一局：剪刀、剪刀、剪刀，布、布、布石头、石头、石头，
第二局：剪刀、布、布，石头、剪刀、剪刀，布、石头、石头，
此时概率为．
游戏经过两局后甲恰得分且为唯一获胜者的概率．
游戏经过两局就结束总共有种情况：
仅人得分，记为事件，则，
有人得分为分，记为事件，则，
仅人得分，记为事件，
一人得分，另两人各负分，概率为：，
一人得分，一人得负分，一人得分，概率为：，
一人得分，另两人各得分，概率为：，
，
有人分别得分，记为事件，则，
游戏经过两局就结束的概率．
19.证明：由题意知为等边三角形，故BF，
是与的公垂线，，
又，、面，
面，又面，，
，四面体为正四面体；
解：不妨设，
则，设，
，
，
由，解得，；
证明：取中点为，令，则到面的距离为，
，
又，
，即．
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