2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市高新一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 不存在，
4.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.在上定义运算：若不等式对任意实数成立，则( )
A. B. C. D.
6.实数，满足，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若：是：的必要不充分条件，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10.已知两个变量，的关系式，则以下说法正确的是( )
A.
B. 对任意实数，都有成立
C. 若对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
D. 若对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
11.设，，，则( )
A. 的最小值为
B. 的范围为
C. 的是小值为
D. 若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.对于集合，，定义，且，，设，，则 ______．
13.设命题：；命题：若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是______．
14.设且恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，．
若，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知，设命题：；命题：不等式对恒成立，若“”为假，“”为真，求的取值范围．
设，命题：关于的一元二次方程的根都是整数；命题：关于的一元二次方程的根都是整数，试求为真命题的的充要条件．
17.本小题分
某投资商到一开发区投资万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出万元，以后每年支出增加万元，从第一年起每年蔬菜销售收入万元．设表示前年的纯利润总和前年的总收入前年的总支出投资额．
Ⅰ该厂从第几年开始盈利？
Ⅱ若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方法：
年平均纯利润达到最大时，以万元出售该厂；
纯利润总和达到最大时，以万元出售该厂
问哪种方案更合算？
18.本小题分
已知、、，求证：．
设、、均为正实数，求证：．
19.本小题分
排序不等式：设，为两组实数，，，，是，，，的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”．
当且仅当或时，反序和等于顺序和．
设，，，为实数，，，，是，，，的任一排列，则乘积的值不会超过_____．
设，，，是个互不相同的正整数，求证：．
有人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同问只有一个水龙头时，应如何安排人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
参考答案
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15.解：
若，则，解得：
若，则
若为空集，则
则；
若为单元集，则
解得：，将代入方程得：得：即符合要求；
若，则
综上所述，或．
16.解：且不等式对恒成立，
且，解得，
：，
又命题：，
命题为假，为真，那么，中有且只有一个为真，一个为假，
若真，假，则，解得；
若假，真，则，解得，
的取值范围为．
是一元二次方程，．
又另一方程为，且两方程都要有实根，
且，
解得，
两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，
，，，
为的约数．
又，或．
当时，第一个方程的根为非整数；
而当时，两方程的根均为整数，
两方程的根均为整数的充要条件是．
17.解：Ⅰ由题意，第一年共支出万元，以后每年支出增加万元，可知每年的支出构成一个等差数列，用表示前年的总支出，
，
前年的总收入前年的总支出投资额，
，
由，即，解得，
由知，从第三年开始盈利；
Ⅱ方案：年平均纯利润为，
当且仅当时等号成立，
故方案共获利万元，此时；
方案：，
当时，，
故方案共获利万元，
比较两种方案，获利都是万元，但由于方案只需年，而方案需年，故选择方案更合算．
18.证明：由，当且仅当，，时，等号成立，
所以；
证明：，
因为，，均为正实数，所以，
；
，当且仅当时，等号同时成立，
所以，
所以．
19.解：由题意，，，是，，，的任一排列，
设两组数，，，与，，，，
则可看作，，，与，，，两组实数的“乱序和”；
设，，，也是，，，的一个排列，且，
其中满足集合
则，，，与，，，两组实数的“顺序和”，
且．
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得．
故空格处填：．
证明：设两组数：，，，与，，，．
由，，，是个互不相同的正整数，
设，，，是，，，的一个排列，且满足，
即，，，是这个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此，，，．
又因为，
故由排序不等式：乱序和反序和，
得．
故，命题得证．
由题意可知，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
故所有人打完水，他们等候的总时间为．
设两组数：，，，，与，，，，．
由假定，这些各不相同，
设，，，，为，，，，的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，
得．
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水．
等候的总时间最少为，其中，，，，为，，，从小到大的一个顺序排列．
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