矩形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2023八下·民乐期末）如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
2．（2024九上·深圳月考）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
3．（2024九上·宁波月考）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
4．（2024九上·杭州开学考）在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（ ）
A．18 B．12 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
5．（2024九上·贵阳月考）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
6．（2024九上·上海市月考）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
7．（2024九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
8．（2024八下·温州期末）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
二、填空题
9．（2024八上·重庆市月考）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
10． 如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形， 交 于点 ． 则 的长为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
故答案为：.
【分析】根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理求解即可。
11．（2024九上·衡阳开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用邻补角求出，再利用三角形的内角和求出，再求出，最后利用角的运算求出即可．
12．（2024八上·船山开学考）把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠EFG=56°，
∴∠DEF=∠EFG=56°，
由折叠的性质可得，
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴，
∵，
∴∠1+∠2=180°，
∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，然后平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求解．
13．（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接EO、PO、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
∵点O，P 分别是边AB ，AD 的中点，
∴OB=AO=4，AP=DP=6，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC=，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP=，
由折叠可得OE=OC=，
∵PE≥OE-OP，
∴PE最小值=OE-OP=，
故答案为：．
【分析】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.
三、解答题
14．（2024八下·黄陂期中） 在如图所示小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）如图1，点是上一点，是延长线上一点，在上画点，再在格线上画点，使四边形为矩形；
（2）在图2中画格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，连接，使．
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
∵四边形的四个顶点 ，
∴四边形是矩形.
∴AD//BC，∠HBC=∠ABC=∠BCD=∠BCF=90°.BO=DO.
易证△DEO≌△BGO，
∴DE=BG.
∵J在格点上，有BJ=FJ=CG.
易证△JBH≌△JFC，
故BH=CF，JH=JC.
∴四边形为矩形.
故点G和点H即为所求.
（2）解：所作图形如图所示：点P即为所求作的点P.
∵四边形是矩形，
∴AB=DC，AB//CD.
∵BK=CD=2.
易证四边形为平行四边形.
BK=KT，∠CBK=∠AKT，BC=AK，
∴△BKC≌△KTA（SAS）
∴∠BCK=∠KAT，
∴∠BCK+∠CKB=∠KAT+∠CKB，
∴∠APK=∠CBK=90°=∠APC.
易证 .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】( 1 )连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交BC点G，易证△DEO≌△BGO，故DE=BG，点G即为所求；连接BF交网格线于点J ( BJ=FJ)，连接CJ交AB的延长线于点H，连接FH，易证△JBH≌△JFC，故BH=CF，四边形为矩形，点H即为所求；
(2 )在AB的延长线上取点K，使得BK=CD=2，.连接CK，取格点T，连接AT交CK点P，点P即为所求.
15．（2024八下·博罗期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t，
又∵AE＝t，
∴AE＝DF.
（2）解：能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴AB＝AC.
由勾股定理，得AB2+
解得AB＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∴AD＝AC－DC＝10－2t.
若使 AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10－2t，解得t＝.
即当t＝时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形。理由如下：
①当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝2.5；；
②当∠DEF＝90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF‖AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝90°－∠C＝60°，
∴∠AED=30°，
∴AD＝AE，即10－2t＝t，解得t＝4；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形可得DF=CD，根据路程=速度×时间可得CD=2t，AE=t，即证明；
（2）根据一组对边平行且相等为平行四边形可判定四边形AEFD为平行四边形，根据30°的直角三角形和勾股定理求得AB和AC的长，再根据菱形的判定需AE=AD求得t的值；
（3）①当∠EDF＝90°时，根据矩形的判定与性质可得AD＝2AE，求出t的值；②当∠DEF＝90°时，平行四边形的性质可得EF∥AD推出∠AED=30°，根据30°的直角三角形的性质可得AD＝AE，求出t的值；③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
16．（2024·湖北）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
17．（2024八下·黔东南期中）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值．
（1）小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．
【答案】（1）解：
四边形是平行四边形，
（2）解：连接．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，将求 转化为求BF的值，最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接， 由平行四边形的性质和矩形的性质求得．． 进而求证 四边形是平行四边形． 再根据平行四边形的性质得到，结合， 证明是等边三角形，从而得到，最后由平行线的性质即可求解.
18．（2024八下·大余期末）【课本再现】
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在 中，对角线，相交于点，且，求证： 是矩形，
（2）【知识应用】
如图在 中对角线和相交于点，．
求证： 是矩形；
若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
是矩形；
解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
（2）解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
解：如图，连接，
过点分别作和的垂线，垂足为，，
，
四边形是矩形，，，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质结合AC=BD得≌，得∠ABC=90°，即可得ABCD为矩形；
(2)①由平行四边形的性质得AC=BD即可证ABCD为矩形；
②连接PO，利用等面积法，可得PE+PF的值.
19．（2024九上·麒麟开学考）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
【答案】解：（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①15
②，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
；
（3）由折叠的性质可得，，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】（1）对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）①由（1）可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
，
故答案为：15；
【分析】（1）利用折叠的性质可得，，再结合，利用特殊角的三角函数值可得，最后求出，从而得解；
（2）①先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
②先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段上时，再分别利用勾股定理列出方程求解即可.
20．（2024八下·当阳期末）已知，在矩形ABCD中．
（1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC．
①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数；
②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数．
（2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6．
①当点E是DC的中点时，求线段DF的长；
②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值．
【答案】（1）①∵AE＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE，
∴△FAE≌△EBC（SAS），
∴FE＝EC，∠AFE＝∠BEC，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠BEC+∠AEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△FEC是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝45°；
②∵CH∥AF，AH∥CF，
∴四边形HAFC是平行四边形，
∴CF＝AH，
∵CF＝BE，
∴BE＝AH，
∵BE＝AH，∠EBC＝∠HAE＝90°，AE＝BC，
∴△HAE≌△EBC（SAS），
同①△HEC是等腰直角三角形，则∠HCE＝45°，
∵AF∥HC，
∴∠AGE＝∠HCE＝45°
（2）解：①如图，连接EF，
∵E是DC的中点，
∴DE＝EC，
∵△CBE沿AE折叠后得到△NBE，
∴CE＝EN，
∴DE＝EN，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠ENB＝90°，
∵DE＝EN，EF＝EF，
∴Rt△DFE≌Rt△NFE（HL），
∴DF＝FN，
设DF＝x，则BF＝6+x，FA＝6﹣x，
在Rt△AFB中，82+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得，
∴；
②由折叠知，∠C＝∠ENB＝90°，EC＝NE，
∴DE+EN＝DE+CE＝DC＝8，
∴当DN最小时，△DEN的周长最小，
∵∠ENB＝90°，
∴点B、N、D在同一条直线上时，DN最小，
∴DN＝BD﹣BN＝10﹣6＝4，
此时，∠DNE＝90°，
∴△DNE的周长＝DN+DE+EN＝8+4＝12．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）①根据已知条件及矩形性质易证得△FAE≌△EBC，进而利用全等性质推理得出△CFE为特殊直角三角形，即目标∠CFE的度数；
②在（1）的基础上，先结合平行四边形的判定和性质，进而同（1）可判定△CFE为特殊直角三角形，进而推出目标∠AGE的度数；
（2）①在中点条件上连接EF，利用折叠的性质易证得另一组三角形Rt△DFE≌Rt△NFE全等，进而利用折叠与全等性质直接设元表示边长找出勾股的等量关系解之即可得出目标线段长；
②由折叠性质分析可知，目标 △DEN的周长 中DE+NE为定值，故将目标问题转化为求变DN的最小值即可，由点N运动轨迹为圆分析或连接BE从不变量(三角形三边关系)分析得出其最小值所在位置结合草图利用勾股定理解之即可.
1 / 1矩形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2023八下·民乐期末）如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则（ ）
A．20° B．40° C．80° D．100°
2．（2024九上·深圳月考）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．2 D．5
3．（2024九上·宁波月考）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．（2024九上·杭州开学考）在矩形中，点为边的中点，连结，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则的值为（ ）
A．18 B．12 C． D．
5．（2024九上·贵阳月考）如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024九上·上海市月考）如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2024九上·深圳月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．2
8．（2024八下·温州期末）如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八上·重庆市月考）在矩形中，，，点M在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点N，若点N为的中点，则的长度为 ．
10． 如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形， 交 于点 ． 则 的长为 ．
11．（2024九上·衡阳开学考）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是 ．
12．（2024八上·船山开学考）把一张长方形纸片沿折叠后与的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若，则 ．
13．（2022八下·福州期末）如图，在矩形中，已知，，点，分别是边，的中点，点是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是 ．
三、解答题
14．（2024八下·黄陂期中） 在如图所示小正方形组成的网格中，四边形的四个顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题．
（1）如图1，点是上一点，是延长线上一点，在上画点，再在格线上画点，使四边形为矩形；
（2）在图2中画格点，使四边形为平行四边形，再在上画点，连接，使．
15．（2024八下·博罗期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（t>0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
16．（2024·湖北）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使E的对称点P落在CD上，F的对称点为G，PG交BC于H．
（1）求证：△EDP∽△PCH．
（2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长．
（3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．
17．（2024八下·黔东南期中）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，且，试求的值．
（1）小明发现，过点E作，交的延长线于点F，经过推理得到，再计算就能够使问题得到（1）解决（如图②），并写出推理和计算过程．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，求的度数．
18．（2024八下·大余期末）【课本再现】
思考：我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
（1）【定理证明】
为了证明该定理，小明同学画出了图形如图并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程：
已知：在 中，对角线，相交于点，且，求证： 是矩形，
（2）【知识应用】
如图在 中对角线和相交于点，．
求证： 是矩形；
若，，是边上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，求的值．
19．（2024九上·麒麟开学考）在数学兴趣小组活动中，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
【初步思考】
（1）操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点在上时，图1中等于的角有： ．（写一个即可）
【迁移探究】
（2）小明将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点M在上时， °；
②若点P是上的一个动点（点P不与点A、D重合），如图3，猜想与的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长．
20．（2024八下·当阳期末）已知，在矩形ABCD中．
（1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC．
①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数；
②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数．
（2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6．
①当点E是DC的中点时，求线段DF的长；
②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
8．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是矩形，AB=1，AD=2，
∴AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，
∴∠AEB=∠GBE，
由折叠得HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，
∴GH=EG-HE=ED-（2-ED）=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，
∴BG=EG=ED，
∵HB2+GH2=BG2，
∴12+（2ED-2）2=ED2，
整理得（3ED-5）（ED-1）=0，
∴或ED=1（不符合题意，舍去）.
故答案为：D．
【分析】根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得AD∥BC，∠A=90°，AE=2-ED，根据两直线平行，内错角相等得出∠AEB=∠GBE，根据折叠前后两图形的对应角相等，对应边相等得出HB=AB=1，EG=ED，HE=AE=2-ED，∠BHE=∠A=90°，∠AEB=∠GEB，即可得出GH=2ED-2，∠BHG=90°，∠GBE=∠GEB，根据等角对等边得出BG=EG=ED，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出DE的值，
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质
10．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
平行四边形是矩形，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），
，
，
故答案为：.
【分析】根据等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理求解即可。
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质；邻补角
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先利用邻补角求出，再利用三角形的内角和求出，再求出，最后利用角的运算求出即可．
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵∠EFG=56°，
∴∠DEF=∠EFG=56°，
由折叠的性质可得，
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴，
∵，
∴∠1+∠2=180°，
∴，
故答案为：．
【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，根据平行线的性质得到，再由折叠的性质得到，然后平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质即可求解．
13．【答案】
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接EO、PO、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠OAP=90°，
∵点O，P 分别是边AB ，AD 的中点，
∴OB=AO=4，AP=DP=6，
在Rt△OBC中，BC=12，OB=4，
∴OC=，
在Rt△AOP中，OA=4，PA=6，
∴OP=，
由折叠可得OE=OC=，
∵PE≥OE-OP，
∴PE最小值=OE-OP=，
故答案为：．
【分析】连接EO、PO、OC，由矩形的性质可得∠B=∠OAP=90°，在Rt△OBC中，用勾股定理可求得OC的值，在Rt△AOP中，用勾股定理可求得OP的值，由折叠的性质得OE=OC，根据三角形三边关系定理可得PE≥OE-OP，于是PE最小值=OE-OP可求解.
14．【答案】（1）解：所作图形如图所示：
∵四边形的四个顶点 ，
∴四边形是矩形.
∴AD//BC，∠HBC=∠ABC=∠BCD=∠BCF=90°.BO=DO.
易证△DEO≌△BGO，
∴DE=BG.
∵J在格点上，有BJ=FJ=CG.
易证△JBH≌△JFC，
故BH=CF，JH=JC.
∴四边形为矩形.
故点G和点H即为所求.
（2）解：所作图形如图所示：点P即为所求作的点P.
∵四边形是矩形，
∴AB=DC，AB//CD.
∵BK=CD=2.
易证四边形为平行四边形.
BK=KT，∠CBK=∠AKT，BC=AK，
∴△BKC≌△KTA（SAS）
∴∠BCK=∠KAT，
∴∠BCK+∠CKB=∠KAT+∠CKB，
∴∠APK=∠CBK=90°=∠APC.
易证 .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】( 1 )连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交BC点G，易证△DEO≌△BGO，故DE=BG，点G即为所求；连接BF交网格线于点J ( BJ=FJ)，连接CJ交AB的延长线于点H，连接FH，易证△JBH≌△JFC，故BH=CF，四边形为矩形，点H即为所求；
(2 )在AB的延长线上取点K，使得BK=CD=2，.连接CK，取格点T，连接AT交CK点P，点P即为所求.
15．【答案】（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t，
∴DF＝t，
又∵AE＝t，
∴AE＝DF.
（2）解：能.理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵在Rt△ABC中，∠C＝30°，
∴AB＝AC.
由勾股定理，得AB2+
解得AB＝5，
∴AC＝2AB＝10，
∴AD＝AC－DC＝10－2t.
若使 AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即t＝10－2t，解得t＝.
即当t＝时，四边形AEFD为菱形.
（3）解：当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形。理由如下：
①当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，
在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即10－2t＝2t，解得t＝2.5；；
②当∠DEF＝90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF‖AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°.
∵∠A＝90°－∠C＝60°，
∴∠AED=30°，
∴AD＝AE，即10－2t＝t，解得t＝4；
③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在，
综上所述，当t＝2.5或4时，△DEF为直角三角形.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据30°的直角三角形可得DF=CD，根据路程=速度×时间可得CD=2t，AE=t，即证明；
（2）根据一组对边平行且相等为平行四边形可判定四边形AEFD为平行四边形，根据30°的直角三角形和勾股定理求得AB和AC的长，再根据菱形的判定需AE=AD求得t的值；
（3）①当∠EDF＝90°时，根据矩形的判定与性质可得AD＝2AE，求出t的值；②当∠DEF＝90°时，平行四边形的性质可得EF∥AD推出∠AED=30°，根据30°的直角三角形的性质可得AD＝AE，求出t的值；③当∠EFD＝90°时，此种情况不存在.
16．【答案】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上，
∴∠EPH＝∠A＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
∴△EDP∽△PCH；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∵P为CD中点，
∴，
设EP＝AP＝x，
∴ED＝AD﹣x＝3﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即x2＝（3﹣x）2+1，
解得，
∴，
∴，
∵△EDP∽△PCH，
∴，
∴，
解得，
∵PG＝AB＝2，
∴；
（3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP，
∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，
∴AP⊥EF，BG⊥直线EF，
∴BG∥AP，
∵AE＝EP，
∴∠EAP＝∠EPA，
∴∠BAP＝∠GPA，
∴△MAP是等腰三角形，
∴MA＝MP，
∵P为CD中点，
∴设DP＝CP＝y，
∴AB＝PG＝CD＝2y，
∵H为BC中点，
∴BH＝CH，
∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH，
∴△MBH≌△PCH（ASA），
∴BM＝CP＝y，HM＝HP，
∴MP＝MA＝MB+AB＝3y，
在Rt△PCH中，，
∴，
∴，
在Rt△APD中，，
∵BG∥AP，
∴△BMG∽△MAP，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质得到∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而得到∠1+∠3＝90°，再根据折叠的性质得到∠EPH＝∠A＝90°，从而结合题意即可得到∠3＝∠2，再根据相似三角形的判定证明△EDP∽△PCH即可求解；
（2）先根据矩形的性质得到CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°，进而根据中点得到，设EP＝AP＝x，则ED＝AD﹣x＝3﹣x，再运用勾股定理即可求出x，从而即可得到ED，再根据相似三角形的性质结合题意求出PH，从而根据GH=PG-PH即可求解；
（3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先根据折叠得到AP⊥EF，BG⊥直线EF，进而根据平行线的判定与性质结合等腰三角形的性质得到∠BAP＝∠GPA，从而得到MA＝MP，设DP＝CP＝y，结合题意运用三角形全等的判定与性质证明△MBH≌△PCH（ASA）即可得到BM＝CP＝y，HM＝HP，从而得到MP＝MA＝MB+AB＝3y，再结合题意根据勾股定理表示出，，，，根据相似三角形的判定与性质证明△BMG∽△MAP得到，最后得到即可求解.
17．【答案】（1）解：
四边形是平行四边形，
（2）解：连接．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，将求 转化为求BF的值，最后利用勾股定理即可求解；
（2） 连接， 由平行四边形的性质和矩形的性质求得．． 进而求证 四边形是平行四边形． 再根据平行四边形的性质得到，结合， 证明是等边三角形，从而得到，最后由平行线的性质即可求解.
18．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
是矩形；
解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
（2）解：证明：在 中对角线和相交于点，
，，
，
，
，
是矩形；
解：如图，连接，
过点分别作和的垂线，垂足为，，
，
四边形是矩形，，，
，，
，，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质结合AC=BD得≌，得∠ABC=90°，即可得ABCD为矩形；
(2)①由平行四边形的性质得AC=BD即可证ABCD为矩形；
②连接PO，利用等面积法，可得PE+PF的值.
19．【答案】解：（1）或或或（任写一个即可）；
（2）①15
②，理由如下：
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
；
（3）由折叠的性质可得，，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
当点在线段上时，
，
，，
，
，
，
综上所述：的长为或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】（1）对折矩形纸片，
，，
沿折叠，使点落在矩形内部点处，
，，
，
，
，
，
故答案为：或或或（任写一个即可）；
（2）①由（1）可知，
四边形是正方形，
，，
由折叠可得：，，
，，
又，
，
，
故答案为：15；
【分析】（1）利用折叠的性质可得，，再结合，利用特殊角的三角函数值可得，最后求出，从而得解；
（2）①先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
②先利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得，从而得解；
（3）分类讨论：①当点在线段上时，②当点在线段上时，再分别利用勾股定理列出方程求解即可.
20．【答案】（1）①∵AE＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE，
∴△FAE≌△EBC（SAS），
∴FE＝EC，∠AFE＝∠BEC，
∵∠AFE+∠AEF＝90°，
∴∠BEC+∠AEF＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△FEC是等腰直角三角形，
∴∠CFE＝45°；
②∵CH∥AF，AH∥CF，
∴四边形HAFC是平行四边形，
∴CF＝AH，
∵CF＝BE，
∴BE＝AH，
∵BE＝AH，∠EBC＝∠HAE＝90°，AE＝BC，
∴△HAE≌△EBC（SAS），
同①△HEC是等腰直角三角形，则∠HCE＝45°，
∵AF∥HC，
∴∠AGE＝∠HCE＝45°
（2）解：①如图，连接EF，
∵E是DC的中点，
∴DE＝EC，
∵△CBE沿AE折叠后得到△NBE，
∴CE＝EN，
∴DE＝EN，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠ENB＝90°，
∵DE＝EN，EF＝EF，
∴Rt△DFE≌Rt△NFE（HL），
∴DF＝FN，
设DF＝x，则BF＝6+x，FA＝6﹣x，
在Rt△AFB中，82+（6﹣x）2＝（6+x）2，
解得，
∴；
②由折叠知，∠C＝∠ENB＝90°，EC＝NE，
∴DE+EN＝DE+CE＝DC＝8，
∴当DN最小时，△DEN的周长最小，
∵∠ENB＝90°，
∴点B、N、D在同一条直线上时，DN最小，
∴DN＝BD﹣BN＝10﹣6＝4，
此时，∠DNE＝90°，
∴△DNE的周长＝DN+DE+EN＝8+4＝12．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）①根据已知条件及矩形性质易证得△FAE≌△EBC，进而利用全等性质推理得出△CFE为特殊直角三角形，即目标∠CFE的度数；
②在（1）的基础上，先结合平行四边形的判定和性质，进而同（1）可判定△CFE为特殊直角三角形，进而推出目标∠AGE的度数；
（2）①在中点条件上连接EF，利用折叠的性质易证得另一组三角形Rt△DFE≌Rt△NFE全等，进而利用折叠与全等性质直接设元表示边长找出勾股的等量关系解之即可得出目标线段长；
②由折叠性质分析可知，目标 △DEN的周长 中DE+NE为定值，故将目标问题转化为求变DN的最小值即可，由点N运动轨迹为圆分析或连接BE从不变量(三角形三边关系)分析得出其最小值所在位置结合草图利用勾股定理解之即可.
1 / 1
