正方形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·金堂月考）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
2．（2024九上·成都月考）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
3．（2024九上·重庆市月考）如图，正方形中，点E、F、G、H分别为边、、、上的点，连接、、，若，，．当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质
4．（2024九上·花溪月考）如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
5．（2024九上·深圳月考）如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
6．（2024九上·承德月考）如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H．
结论：；结论：．
对于结论和，下列判断正确的是（ ）
A．正确，不正确 B．不正确，正确
C．和都正确 D．和都不正确
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
7．（2024九上·六盘水月考）如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．2
【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
8．（2024九上·北京市开学考）如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
二、填空题
9．（2024九上·深圳月考）已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则 度．
【答案】112.5
【知识点】正方形的性质
10．（2024九上·绿园月考）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
11．（2024八上·南山开学考）如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
12．（2024九上·金堂月考）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接，交于点，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
13．（2024九上·杭州开学考）如图，在正方形中，，为上一动点，交于点，过作，交于点，连结、，与交于点．下列结论：①，②，③△的周长为12，④，其中正确的结论有 ．
【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；圆周角定理
三、解答题
14．（2024九上·奉贤月考）如图矩形的边在的边边上顶点D、G分别在边、上已知．
（1）当矩形为正方形时，求正方形的边长；
（2）连接，当以为腰的等腰三角形时，求矩形的面积．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．（2024九上·岳阳开学考）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．
（1）如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系▲ ，证明你的猜想；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
（3）如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
【答案】（1）证明：连接PD，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
在和中，
∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=∠BCE=90°，
∴∠CBP+∠CEP=180°，
∵∠CEP+∠PED=180°，
∴∠PED=∠CBP，
∴∠PED=∠CDP，
∴PE=PD，
∴PB=PE
（2）(2)解：PF的长度不变.理由如下：连接BD，与AC相交于点，如图2.
四边形ABCD是正方形，
，即，
，即，
在和中，
四边形ABCD是正方形，
点在运动过程中，PF的长度不变，值为；
（3）解：过点作，使，连接QR，BR，过点作，交BC延长线于，如图3所示：
四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，，
在和中，
三点共线时，最短，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：
的最小值为
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）连接PD，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和可得∠CBP+∠CEP=180°，则∠PED=∠CDP，根据等腰三角形性质可得PE=PD，则PB=PE，即可求出答案.
（2）连接BD，与AC相交于点，根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得再根据全等三角形判定定理可得，则BO=PF，再根据正方形性质可得根据勾股定理可得再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点作，使，连接QR，BR，过点作，交BC延长线于，根据正方形性质可得，根据三角形内角和定理可得，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，当三点共线时，最短，即最短，此时，，在中，根据勾股定理即可求出答案.
16．（2024·柯桥模拟）下图题由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线AD；
（2）图②中，在的边BC上找一点，使得；
（3）图③中，在的边AC上找一点，连接BF，使的面积为1．
【答案】（1）解：如图①，线段AD为所求；
（2）解：如图，∠BAE=45°，
理由：连接BG，
∵BG=，AG=，AB=，
∴AB2=BG2+AG2，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°；
（3）解：如图，点F就是所求的点
∵△ABC的面积为：3×3-=9-3-2=4，
∴△ABF的面积为1.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，连接以BC为对角线的矩形的另一条对角线，与BC相交于点D，可得出点D是边BC的中点，连接AD即可；
（2）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，找到点G，构成△ABG是等腰直角三角形，从而得出∠BAE=45°；
（3）首先求出△ABC的面积为4，然后根据正方形的对角线互相平分得出点F是线段AC的四等分点，即AF=，即可得出ABF的面积为1.
17．（2024八下·济南期末）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）在图中，的度数是___________；
（2）如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度；
（3）如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3），最大值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
18．（2024八下·长寿期末）如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．
（1）若，，求的值；
（2）求证：；
（3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：四边形是正方形，，
，
等腰中，，，，
，
，
，
点是的中点，
；
（2）证明：如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
点是的中点，
（3）解：
如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
，
点是的中点，
，
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据AB和CM的长求出AC，CN的长，再用勾股定理计算出AN的长，得出AE的长。
（2）延长NC，AB相交于G，证明AC＝CG，BG＝AB，再根据中位线的性质得出2BE＝NG，从而推导出结论.
19．（2017八下·郾城期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
【答案】（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；（2）证明思路同（1）
20．（2024九上·麒麟开学考）问题情境：已知正方形是对角线上任意一点．
思考发现：（1）如图1，若连接，则线段与的数量关系为___________．
探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②连接，若G是的中点，且，求线段的长．
拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长．
【答案】解：（1）
（2）①为等腰三角形，理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
②过点作，如图所示：
∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在中，；
（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①利用角的运算及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，即可证出为等腰三角形；
②过点作，结合，可得，求出，最后利用勾股定理求出AF的长即可；
（3）先利用勾股定理求出EF的长，再利用线段的和差求出即可．
1 / 1正方形的性质与判定——北师大版数学九年级上册知识点训练
一、选择题
1．（2024九上·金堂月考）如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·成都月考）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长，边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·重庆市月考）如图，正方形中，点E、F、G、H分别为边、、、上的点，连接、、，若，，．当时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·花溪月考）如图，将边长的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·深圳月考）如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④
6．（2024九上·承德月考）如图，在正方形中，M，N分别为，的中点，与相交于点G，延长交于点E，交于点H．
结论：；结论：．
对于结论和，下列判断正确的是（ ）
A．正确，不正确 B．不正确，正确
C．和都正确 D．和都不正确
7．（2024九上·六盘水月考）如图，正方形的面积为4，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．2
8．（2024九上·北京市开学考）如图，在正方形中，为边上一点（点不与点，重合），于，并交于点，交延长线于点．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．仅有② B．仅有③ C．②③ D．①②③
二、填空题
9．（2024九上·深圳月考）已知：如图所示，是正方形边延长线一点，若，交于，则 度．
10．（2024九上·绿园月考）如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，那么等于 ．
11．（2024八上·南山开学考）如图，直线 ，，分别过正方形 的三个顶点，，，且相互平行，若 ， 的距离为 ，， 的距离为2， 则正方形的边长为 ．
12．（2024九上·金堂月考）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接，交于点，若，，则线段的长为 ．
13．（2024九上·杭州开学考）如图，在正方形中，，为上一动点，交于点，过作，交于点，连结、，与交于点．下列结论：①，②，③△的周长为12，④，其中正确的结论有 ．
三、解答题
14．（2024九上·奉贤月考）如图矩形的边在的边边上顶点D、G分别在边、上已知．
（1）当矩形为正方形时，求正方形的边长；
（2）连接，当以为腰的等腰三角形时，求矩形的面积．
15．（2024九上·岳阳开学考）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．
（1）如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系▲ ，证明你的猜想；
（2）如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．
（3）如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值．
16．（2024·柯桥模拟）下图题由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线AD；
（2）图②中，在的边BC上找一点，使得；
（3）图③中，在的边AC上找一点，连接BF，使的面积为1．
17．（2024八下·济南期末）阅读下面材料：
我遇到这样一个问题：如图，在正方形中，点分别为边上的点，，连接，求证：，我是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上，他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题，他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图），此时即是．
参考我得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）在图中，的度数是___________；
（2）如图，在直角梯形中，（），，，是上一点，若，，求的长度；
（3）如图，中，，，以为边作正方形，连接．当___________时，线段有最大值，并求出的最大值．
18．（2024八下·长寿期末）如图，正方形中，是对角线，等腰中，，，点在边上，连接，点是的中点，连接．
（1）若，，求的值；
（2）求证：；
（3）当等腰的点落在正方形的边上，如图，连接，点是的中点，连接，延长交于点请探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
19．（2017八下·郾城期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．
20．（2024九上·麒麟开学考）问题情境：已知正方形是对角线上任意一点．
思考发现：（1）如图1，若连接，则线段与的数量关系为___________．
探究应用：（2）如图2，经过点B作与的延长线交于点与交于点G．
①判断的形状并说明理由；
②连接，若G是的中点，且，求线段的长．
拓展迁移：（3）如图3，在（2）的条件下，若，请直接给出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质
2．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质
4．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
5．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
6．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
7．【答案】D
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
9．【答案】112.5
【知识点】正方形的性质
10．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
12．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
13．【答案】②③④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；圆周角定理
14．【答案】（1）
（2）或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
15．【答案】（1）证明：连接PD，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
在和中，
∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE=∠BCE=90°，
∴∠CBP+∠CEP=180°，
∵∠CEP+∠PED=180°，
∴∠PED=∠CBP，
∴∠PED=∠CDP，
∴PE=PD，
∴PB=PE
（2）(2)解：PF的长度不变.理由如下：连接BD，与AC相交于点，如图2.
四边形ABCD是正方形，
，即，
，即，
在和中，
四边形ABCD是正方形，
点在运动过程中，PF的长度不变，值为；
（3）解：过点作，使，连接QR，BR，过点作，交BC延长线于，如图3所示：
四边形ABCD是正方形，
是等腰直角三角形，，
在和中，
三点共线时，最短，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：
的最小值为
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题；多边形的内角和公式
【解析】【分析】（1）连接PD，根据正方形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则PB=PD，∠CBP=∠CDP，根据四边形内角和可得∠CBP+∠CEP=180°，则∠PED=∠CDP，根据等腰三角形性质可得PE=PD，则PB=PE，即可求出答案.
（2）连接BD，与AC相交于点，根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得再根据全等三角形判定定理可得，则BO=PF，再根据正方形性质可得根据勾股定理可得再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点作，使，连接QR，BR，过点作，交BC延长线于，根据正方形性质可得，根据三角形内角和定理可得，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，当三点共线时，最短，即最短，此时，，在中，根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图①，线段AD为所求；
（2）解：如图，∠BAE=45°，
理由：连接BG，
∵BG=，AG=，AB=，
∴AB2=BG2+AG2，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°；
（3）解：如图，点F就是所求的点
∵△ABC的面积为：3×3-=9-3-2=4，
∴△ABF的面积为1.
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用；矩形的性质；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，连接以BC为对角线的矩形的另一条对角线，与BC相交于点D，可得出点D是边BC的中点，连接AD即可；
（2）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，找到点G，构成△ABG是等腰直角三角形，从而得出∠BAE=45°；
（3）首先求出△ABC的面积为4，然后根据正方形的对角线互相平分得出点F是线段AC的四等分点，即AF=，即可得出ABF的面积为1.
17．【答案】（1）；
（2）；
（3），最大值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
18．【答案】（1）解：四边形是正方形，，
，
等腰中，，，，
，
，
，
点是的中点，
；
（2）证明：如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
点是的中点，
（3）解：
如图，延长与的延长线交于一点，
则是等腰直角三角形，为的中点，
，
，
点是的中点，
，
【知识点】正方形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据AB和CM的长求出AC，CN的长，再用勾股定理计算出AN的长，得出AE的长。
（2）延长NC，AB相交于G，证明AC＝CG，BG＝AB，再根据中位线的性质得出2BE＝NG，从而推导出结论.
19．【答案】（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，证明Rt△PQF≌Rt△PBE，即可；（2）证明思路同（1）
20．【答案】解：（1）
（2）①为等腰三角形，理由如下：
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
②过点作，如图所示：
∵，
∴，
∵，点为的中点，
∴，，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
在中，；
（3）．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴．
【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①利用角的运算及等量代换可得，再利用等角对等边的性质可得，即可证出为等腰三角形；
②过点作，结合，可得，求出，最后利用勾股定理求出AF的长即可；
（3）先利用勾股定理求出EF的长，再利用线段的和差求出即可．
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