【培优版】北师大版数学九年级上册4.2平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·拱墅期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a，则GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a，再根据H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根据线段的和差关系表示出HG，则可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.
2．（2021九上·平阳月考）如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，
∵CE平分∠ACB，
∴EG=EB，
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）
∴CB=CG，
∴CG=4，
∵ ，
∴AG=AC-CG=5-4=1，
在Rt△AEG中， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O和F分别是AC、CE的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴ 且 ，
因为 ，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
解得： ，
经检验，符合题意，
过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM= ，
∴△CNO的面积 .
故答案为：D.
【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.
3．（2019九上·顺德期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
【答案】C
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接DF，
已知CD=EF，CD⊥EG，EF⊥EG，
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH，
∴
又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b，
∴ ，
∴
∴
∴GH= ，
∵a，b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故答案为：C.
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得 .又AB∥CD，得出 ，设 =a，DF=b（a，b为常数），可得出 ，从而可以得出 ，结合 可将DH用含a，b的式子表示出来，最后得出结果.
4．（2019九上·北碚期末）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC=（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】作DH∥BF交AC于H.
∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC.
∵DH∥BF，∴CH：FH=CD：BD，∴FH＝HC.
∵DH∥BF，∴ ，∴AF：FC＝1：6.
故答案为：D.
【分析】作DH∥BF交AC于H.根据平行线分线段成比例定理可得FH＝HC，，进而可得AF：FC＝1：6.
5．（2023九上·浙江期中）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为（ ）
A．3：2 B．5：3 C．4：3 D．2：1
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AB=6，BC=10 ，
∴，由勾股定理可得，
∵平分 ∠ABC ， DF⊥BC ，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∵DF⊥BC ，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求得，再由角平分线的性质得，利用面积法求出，则，再由勾股定理得，从而求得，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
二、填空题
6．（2023九上·浙江期中）如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且EF=BF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若AB=4，则折痕DG的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点F作于点M，MN交BC于点N，
四边形 ABCD 为矩形，
∴四边形CDMN，ABMN为矩形，
由，得，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
设则，根据勾股定理得
即，
解得，
根据勾股定理得.
故答案为：．
【分析】过点F作于点M，MN交BC于点N，四边形 ABCD 为矩形，则四边形CDMN，ABMN为矩形，由，得，则，在中，根据勾股定理得，设则，根据勾股定理，解得，最后根据勾股定理得.
7．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴， 即 ，
∴PH＝PG＝，
∵，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，
EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.
8．（2020九上·大邑期中）如图，正方形ABCD的边长AB＝4，点E、F分别是CB，DC延长线上的点，连AF交CB于点G，若BE＝1，连接AE，且∠EAF＝45°，则AG长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，可使AB与AD重合，则H在DC上.
由旋转得：BE=DH，∠DAH=∠BAE，AE=AH，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAH=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAH=45°，
在△EAF和△HAF中，AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴EF=FH，
设EF=FH=x，则DF=x+1，FC=x-3.
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：
，解得：x= ，
∴FD= ，FC= .
∵BC∥AD，
∴ ，即 ，解得：CG=1.6.
∴BG=2.4.
∴AG= .
故答案为： .
【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，然后根据正方形的性质，结合旋转的性质，利用SAS证明△EAF≌△HAF，得出EF=FH，设EF=FH=x，在Rt△EFC中，根据勾股定理构建方程求解，从而求出FD和FC，然后根据平行线分线段成比例的性质求出CG，则可求出BG，最后利用勾股定理求AG即可.
9．（2023九上·哈尔滨月考）如图，正方形中，E、F分别为、边的中点，连接，将正方形折叠，使点C落在上点P的位置，折痕交于点G，若，则的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵ E，F分别AD，BC边的中点，
∴ DE=CF，
∵ DE∥CF，∠D=90°，
∴ 四边形CDEF为矩形，
∴ EF∥CD，
∴，
∴ BG=GQ，
∵ ∠BPQ=90°，
∴ BG=GQ=PG，
∴ 在Rt△BFG中，BG=，BF=a，GF=，
∴ 在Rt△BPF中，BP=2a，BF=a，PF=PG+GF=+，
由勾股定理得，PB2=PF2+BF2，
即4a2=a2+(+)2，
解得，a=-1（舍去）或a=1，
∴ PF=+=+=，
∴ EP=2a-=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为2a，根据正方形的性质可推出DE=CF， DE∥CF，根据矩形的判定和性质可得 EF∥CD，再根据平行线分线段成比例可得，可得BG=GQ，根据直角三角形的斜边中线性质可得BG=GQ=PG，再根据勾股定理可得GF=，再根据勾股列等式4a2+(+)2，求出a的值，即可得PF，而EP=2a-PF，即可求得.
三、解答题
10．（2024九上·绿园期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，
，
，
解得．
（3）解：当时，重叠部分是矩形，
当时，重叠部分是五边形．
，
综上所述，
（4）解：或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
，
．
故答案为：．
（4）如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．
，，，
，
，，设，
，，，
，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．
同法可证：，
，，设，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
解得 ．
综上所述，满足条件的的值为或
【分析】（1）由题意，，进而即可求解；
（2）根据题意结合平行线分线段成比例即可求解；、
（3）根据题意分类讨论：当时，重叠部分是矩形，；当时，重叠部分是五边形
，，进而即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当点落在的角平分线上时，满足条件．作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于．进而根据三角形全等的判定与性质结合题意勾股定理解一元二次方程即可求解。
11．（2017九上·东莞月考）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，
所以 ，
∵CD∥EF，∴ ，
∴ =1，
∴ ，
（2）解：关系式为： ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，
由题设可得： ，
∴ ，又∵ BD AM=S△ABD， =S△BCD∴ BD EN=S△BED，
∴ .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，由 AB∥EF和CD∥EF得出对应相等成比例，然后相加并整理就可证得结论。
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，再把各面积用边表示出来，即可找到关系，就可证得结论。
12．（2023九上·资中期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作，交的延长线于点．
（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
（3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，，
平分，
，
，
，
，
即．
（2）解：平分，，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
．
（3）解：①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下：
如图：作交于点，
，，，
平分，
，
，
，
．
②平分，
，
由①知
，
，，
，
解得，
不符合题意，舍去，
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、平行线分线段成比例，角平分线的性质及应用，熟练应用题中结论及平行线的性质是关键。
（1）由得，，，由AD平分得，得AE=AC，得；
（2） 由AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得，得，，由E是BC的中点得，由得，得CE；
（3） ①作交于点得，，，结合AF平分得∠MAF=∠CAF可得AE=AC，则．②由AD平分，由①知得，得CD．
13．（2020九上·乐平期末）如图1，在矩形 中， ， ，沿对角线 剪开，再把 沿 方向平移得到图2，其中 交 于 ， 交 于 ．
（1）在图2中，除 与 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；
（2）设 ．
①当 为何值时，四边形 是菱形？
②设四边形 的面积为 ，求 与 的关系式，并求出 最大值．
【答案】（1）解：△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，
∴AA′=CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F=∠C′，
由题意得，∠BA′F=∠A，
∴∠A=∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，
，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，∠B=∠D=90゜，DA′=CB，DA′//CB，
由△AA′E≌△C′CF，得，A′E=FC
∵四边形A′DCF是平行四边形，
∴A′F=EC，
∴Rt△A′BF≌△CDE
（2）解：①设A′E=a，A′F=b，
在Rt△ABC中， ， ，∠B=90゜
∴
∵A′F∥AC，
∴ ，即 ，
解得， ，
同理 ，
解得， ，
当A′E=A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴ = ，
解得，x=5，
∴当x=5时，四边形A′ECF是菱形；
② ，即 ．
， 的最大值为12
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠C′， 再证明 △AA′E≌△C′CF ，最后作答求解即可；
（2）①利用勾股定理求出AC=10，再求出
，最后计算求解即可；
②利用面积公式求出
，即可作答。
14．（2020九上·厦门月考）如图， ， 和 的角平分线相交于点P，过点P作线 分别交 、 于F，E．
（1）如图1，求证： ；
（2）若 绕点P旋转，F在 的延长线上滑动，如图2，请你测量，猜想 、 、 之间的关系，写出这个关系式，并加以证明．
【答案】（1）证明：延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AB=AF+BE；
（2）解：①成立，
证明：如图2，
延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AB=AF+BE；
②不同，猜想：AF+AB=BE，
证明：如图3，延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AF+AB=BE．
【知识点】角平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）求出AB=BQ，根据等腰三角形的性质求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；（2）①求出AB=BQ，根据等腰三角形的性质求出AP=PQ，推出AF=QE，即可得出答案；②延长AC交NB于点F，同①可得AB=BQ，再求出AFEQ，即可得出答案。
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册4.2平行线分线段成比例 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·拱墅期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（ ）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
2．（2021九上·平阳月考）如图，在矩形 中， ， ， 平分 ，与对角线 相交于点N，F是线段 的中点，则 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·顺德期末）如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
4．（2019九上·北碚期末）AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED=1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC=（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
5．（2023九上·浙江期中）如图，△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，∠ABC的平分线交AC于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD：DE为（ ）
A．3：2 B．5：3 C．4：3 D．2：1
二、填空题
6．（2023九上·浙江期中）如图，矩形纸片ABCD，点E在边AD上，连接BE，点F在线段BE上，且EF=BF，折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG，若AB=4，则折痕DG的长为 .
7．（2022九上·温州开学考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．将小正方形对角线EF双向延长，分别交边AB，和边BC的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，GH＝2，则大正方形的边长为 ．
8．（2020九上·大邑期中）如图，正方形ABCD的边长AB＝4，点E、F分别是CB，DC延长线上的点，连AF交CB于点G，若BE＝1，连接AE，且∠EAF＝45°，则AG长为 .
9．（2023九上·哈尔滨月考）如图，正方形中，E、F分别为、边的中点，连接，将正方形折叠，使点C落在上点P的位置，折痕交于点G，若，则的长为 .
三、解答题
10．（2024九上·绿园期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点运动，点为线段的中点，过点向上作，且，以、为边作矩形．设点的运动时间为（t>0）秒．
（1）线段的长为 （用含的代数式表示）．
（2）当点N恰好落在边上时，求的值．
（3）当点在内部时，设矩形与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点恰好落在的角平分线上时，直接写出的值．
11．（2017九上·东莞月考）已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明 成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：
（1） 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
12．（2023九上·资中期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：
如图1，在中，平分，交于点，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作，交的延长线于点．
（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）【直接应用】如图3，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长；
（3）【拓展延伸】如图4，中，平分，的延长线交外角角平分线于点．
①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明；
②若，，求的长．
13．（2020九上·乐平期末）如图1，在矩形 中， ， ，沿对角线 剪开，再把 沿 方向平移得到图2，其中 交 于 ， 交 于 ．
（1）在图2中，除 与 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；
（2）设 ．
①当 为何值时，四边形 是菱形？
②设四边形 的面积为 ，求 与 的关系式，并求出 最大值．
14．（2020九上·厦门月考）如图， ， 和 的角平分线相交于点P，过点P作线 分别交 、 于F，E．
（1）如图1，求证： ；
（2）若 绕点P旋转，F在 的延长线上滑动，如图2，请你测量，猜想 、 、 之间的关系，写出这个关系式，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a，则GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a，再根据H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根据线段的和差关系表示出HG，则可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作EG⊥AC于G，
∵CE平分∠ACB，
∴EG=EB，
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△GCE（HL）
∴CB=CG，
∴CG=4，
∵ ，
∴AG=AC-CG=5-4=1，
在Rt△AEG中， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵O和F分别是AC、CE的中点，
∴OF是△CAE的中位线，
∴ 且 ，
因为 ，
∴ ，
由矩形可知， ，
∴ ，
解得： ，
经检验，符合题意，
过N点分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，
由 ，得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
延长OF与BC交于点H，则NK+CH=CM= ，
∴△CNO的面积 .
故答案为：D.
【分析】作EG⊥AC于G，由角平分线的性质可得EG=EB，证明Rt△BCE≌Rt△GCE，得到CB=CG=4，由勾股定理求出AC，进而得到AG，在Rt△AEG中，应用勾股定理可得EG，进而求出BE、AE，易知OF是△CAE的中位线，得到OF∥AE，OF=AE，由矩形的性质可得BD=AC=5，由平行线分线段成比例的性质可得BN，过N分别向BC、OF作垂线，垂足分别为M、K，易得BM、CM的值，延长OF与BC交于点H，求出CM，据此求解.
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接DF，
已知CD=EF，CD⊥EG，EF⊥EG，
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH，
∴
又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b，
∴ ，
∴
∴
∴GH= ，
∵a，b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故答案为：C.
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得 .又AB∥CD，得出 ，设 =a，DF=b（a，b为常数），可得出 ，从而可以得出 ，结合 可将DH用含a，b的式子表示出来，最后得出结果.
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】作DH∥BF交AC于H.
∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC.
∵DH∥BF，∴CH：FH=CD：BD，∴FH＝HC.
∵DH∥BF，∴ ，∴AF：FC＝1：6.
故答案为：D.
【分析】作DH∥BF交AC于H.根据平行线分线段成比例定理可得FH＝HC，，进而可得AF：FC＝1：6.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵∠A=90°，AB=6，BC=10 ，
∴，由勾股定理可得，
∵平分 ∠ABC ， DF⊥BC ，
∴，
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
∵DF⊥BC ，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求得，再由角平分线的性质得，利用面积法求出，则，再由勾股定理得，从而求得，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
6．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：过点F作于点M，MN交BC于点N，
四边形 ABCD 为矩形，
∴四边形CDMN，ABMN为矩形，
由，得，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
设则，根据勾股定理得
即，
解得，
根据勾股定理得.
故答案为：．
【分析】过点F作于点M，MN交BC于点N，四边形 ABCD 为矩形，则四边形CDMN，ABMN为矩形，由，得，则，在中，根据勾股定理得，设则，根据勾股定理，解得，最后根据勾股定理得.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
∵大正方形与小正方形的面积之比为5，
∴＝，
∴AD＝EM，
设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，
由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，
∴b2+（a+b）2＝（a）2，
∴2b2+2ab﹣4a2＝0，
（b﹣a）（b+2a）＝0，
∵b+2a≠0，
∴b﹣a＝0，
∴b＝a，
∴AE＝DM＝a，
如图，延长BF交CD于N，
∵BN∥DE，CF＝FM，
∴DN＝CN，
∴EN＝DM＝a，
∵PN∥BG，
∴，
设PN＝x，则BG＝4x，
∵DE＝BF，∠BFG＝∠DEF，∠BGF＝∠DPE，
∴△BFG≌△DEP（AAS），
∴PD＝BG＝4x，
同理得：EG＝FP，
∴DN＝3x＝CN，
∴PC＝2x，
∵CP∥BG，
∴， 即 ，
∴PH＝PG＝，
∵，
∴EF＝a＝GP＝，
∴a＝，
∴AD＝a＝．
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD＝EM，设EM＝a，AE＝b，则AD＝a，由勾股定理可得AE2+DE2＝AD2，代入并化简得AE＝DM＝a，延长BF交CD于N，则EN＝DM＝a，根据平行线分线段成比例的性质可得，，设PN＝x，则BG＝4x，易证△BFG≌△DEP，得到PD＝BG＝4x，同理得：EG＝FP，则DN＝3x＝CN，PC＝2x，PH=＝PG＝，
EF＝a＝GP，据此求出a的值，进而可得AD.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，可使AB与AD重合，则H在DC上.
由旋转得：BE=DH，∠DAH=∠BAE，AE=AH，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠BAH=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAH=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAH=45°，
在△EAF和△HAF中，AE=AH，∠EAF=∠HAF，AF=AF，
∴△EAF≌△HAF（SAS），
∴EF=FH，
设EF=FH=x，则DF=x+1，FC=x-3.
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：
，解得：x= ，
∴FD= ，FC= .
∵BC∥AD，
∴ ，即 ，解得：CG=1.6.
∴BG=2.4.
∴AG= .
故答案为： .
【分析】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADH，然后根据正方形的性质，结合旋转的性质，利用SAS证明△EAF≌△HAF，得出EF=FH，设EF=FH=x，在Rt△EFC中，根据勾股定理构建方程求解，从而求出FD和FC，然后根据平行线分线段成比例的性质求出CG，则可求出BG，最后利用勾股定理求AG即可.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵ E，F分别AD，BC边的中点，
∴ DE=CF，
∵ DE∥CF，∠D=90°，
∴ 四边形CDEF为矩形，
∴ EF∥CD，
∴，
∴ BG=GQ，
∵ ∠BPQ=90°，
∴ BG=GQ=PG，
∴ 在Rt△BFG中，BG=，BF=a，GF=，
∴ 在Rt△BPF中，BP=2a，BF=a，PF=PG+GF=+，
由勾股定理得，PB2=PF2+BF2，
即4a2=a2+(+)2，
解得，a=-1（舍去）或a=1，
∴ PF=+=+=，
∴ EP=2a-=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为2a，根据正方形的性质可推出DE=CF， DE∥CF，根据矩形的判定和性质可得 EF∥CD，再根据平行线分线段成比例可得，可得BG=GQ，根据直角三角形的斜边中线性质可得BG=GQ=PG，再根据勾股定理可得GF=，再根据勾股列等式4a2+(+)2，求出a的值，即可得PF，而EP=2a-PF，即可求得.
10．【答案】（1）
（2）解：如图，当点落在上时，
，
，
，
解得．
（3）解：当时，重叠部分是矩形，
当时，重叠部分是五边形．
，
综上所述，
（4）解：或．
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由题意，，
，
．
故答案为：．
（4）如图4-1中，当点落在的角平分线上时，满足条件．作于．
，，，
，
，，设，
，，，
，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
如图4-2中，当点落在的角平分线上时，满足条件作于．
同法可证：，
，，设，
，
在中，则有，
解得，
，
，
，
解得 ．
综上所述，满足条件的的值为或
【分析】（1）由题意，，进而即可求解；
（2）根据题意结合平行线分线段成比例即可求解；、
（3）根据题意分类讨论：当时，重叠部分是矩形，；当时，重叠部分是五边形
，，进而即可求解；
（4）根据题意分类讨论：当点落在的角平分线上时，满足条件．作于；当点落在的角平分线上时，满足条件作于．进而根据三角形全等的判定与性质结合题意勾股定理解一元二次方程即可求解。
11．【答案】（1）解：成立．证明：∵ AB∥EF，
所以 ，
∵CD∥EF，∴ ，
∴ =1，
∴ ，
（2）解：关系式为： ，证明如下：分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，
由题设可得： ，
∴ ，又∵ BD AM=S△ABD， =S△BCD∴ BD EN=S△BED，
∴ .
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例，由 AB∥EF和CD∥EF得出对应相等成比例，然后相加并整理就可证得结论。
（2）分别过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，过C作CK⊥BD交BD的延长线于K，再把各面积用边表示出来，即可找到关系，就可证得结论。
12．【答案】（1）证明：，
，，，
平分，
，
，
，
，
即．
（2）解：平分，，，
，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
．
（3）解：①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下：
如图：作交于点，
，，，
平分，
，
，
，
．
②平分，
，
由①知
，
，，
，
解得，
不符合题意，舍去，
．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、平行线分线段成比例，角平分线的性质及应用，熟练应用题中结论及平行线的性质是关键。
（1）由得，，，由AD平分得，得AE=AC，得；
（2） 由AD平分∠BAC，AB=11，AC=15得，得，，由E是BC的中点得，由得，得CE；
（3） ①作交于点得，，，结合AF平分得∠MAF=∠CAF可得AE=AC，则．②由AD平分，由①知得，得CD．
13．【答案】（1）解：△AA′E≌△C′CF，△A′BF≌△CDE，
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，
∴AA′=CC′，
∵AB∥CD，
∴∠BA′F=∠C′，
由题意得，∠BA′F=∠A，
∴∠A=∠C′，
在△AA′E和△C′CF中，
，
∴△AA′E≌△C′CF（ASA）；
由题意得，四边形A′DCB是矩形，
∴A′B=DC，∠B=∠D=90゜，DA′=CB，DA′//CB，
由△AA′E≌△C′CF，得，A′E=FC
∵四边形A′DCF是平行四边形，
∴A′F=EC，
∴Rt△A′BF≌△CDE
（2）解：①设A′E=a，A′F=b，
在Rt△ABC中， ， ，∠B=90゜
∴
∵A′F∥AC，
∴ ，即 ，
解得， ，
同理 ，
解得， ，
当A′E=A′F时，四边形A′ECF是菱形，
∴ = ，
解得，x=5，
∴当x=5时，四边形A′ECF是菱形；
② ，即 ．
， 的最大值为12
【知识点】菱形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先求出 ∠A=∠C′， 再证明 △AA′E≌△C′CF ，最后作答求解即可；
（2）①利用勾股定理求出AC=10，再求出
，最后计算求解即可；
②利用面积公式求出
，即可作答。
14．【答案】（1）证明：延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AB=AF+BE；
（2）解：①成立，
证明：如图2，
延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AB=AF+BE；
②不同，猜想：AF+AB=BE，
证明：如图3，延长AP交BE于Q，
∵AP平分∠MAB，
∴∠MAP=∠BAP，
∵AM∥BN，
∴∠MAP=∠AQB，
∴∠BAP=∠AQB，
∴AB=BQ，
∵BP平分∠ABE，
∴AP=PQ，
∵AM∥BN，
∴ =1，
∴AF=EQ，
∴AF+AB=BE．
【知识点】角平分线的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）求出AB=BQ，根据等腰三角形的性质求出AP=PQ，推出AF=EQ，即可得出答案；（2）①求出AB=BQ，根据等腰三角形的性质求出AP=PQ，推出AF=QE，即可得出答案；②延长AC交NB于点F，同①可得AB=BQ，再求出AFEQ，即可得出答案。
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