【基础版】北师大版数学九年级上册 4.3 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·呈贡月考）下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、不相似，不符合题意；
B、不相似，不符合题意；
C、相似，符合题意；
D、不相似，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】如果两个多边形的边数相同，对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似.
2．（2023九上·贵阳月考） 已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：AB：BC=4：3，
A、长：宽=2：1.5=4：3，A符合题意；
B、长：宽=2：1.2=5：8，B不符合题意；
C、长：宽=3：2，C不符合题意；
D、长：宽=2.5：1.5=5：3，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个矩形长、宽对应成比例即可相似进行分析解答即可.
3．（2023九上·赵县月考）如图，四边形和相似，则和的大小分别为（ ）
A． 30 B． 33 C． 30 D． 33
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】四边形和相似，
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的性质得到对应边成比例，对应角相等，从而求解.
4．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此D错误，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是相似多边形的性质和相似三角形的性质类似，即相似多边形的周长比，对应三线比都等于相似比，对应边之比是相似比，面积比是相似比的平方.
6．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
7．有下列几个命题：
①四条边相等的四边形都相似；
②四个角都相等的四边形都相似；
③三条边相等的三角形都相似；
④所有的正十二边形都相似．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①四条边相等的四边形不一定都相似，例如边长相等的菱形和正方形，故原说法错误；
②四个角都相等的四边形都相似，例如边长不相等的两个矩形，故原说法错误；
③三条边相等的三角形都相似，此说法正确；
④所有的正十二边形都相似，此说法正确．
则正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，可判断①②说法错误；根据如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，可判断③④说法正确；即可得出答案.
8．（2021九上·宣城期中）在下面的图形中，相似的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项不符合题意；
B、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴两直角三角形相似，故本选项符合题意．
D、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可。
二、填空题
9．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB =a(cm)，宽BC=b(cm)，E，F分别为AB，CD的中点．将这张纸片沿直线EF对折后，矩形EFDA与矩形ABCD相似，则a：b=
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=DG=a，BC=DA=EF=b，，
∵矩形EFDA与矩形ABCD相似，
∴，
整理得：
解得：，
则.
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的对应边之比相等可得，整理求解得即可．
10．两个相似多边形的面积比为25：9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为 .
【答案】75或27
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：分类讨论：当周长为45的多边形是较大多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=27，即另一个多边形的周长为27；
当周长为45的多边形是较小多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=75，即另一个多边形的周长为75，综上可得该多边形的周长为75或27.
故答案为：75或27.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，分两种情况建立方程，求解可得答案.
11．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.3 相似多边形 同步练习）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB
CD相似，AB=4，则AD的长度为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，
∴AE：AB=AB：AD，
∴AB2=2x2，
∴AB= x=4，
∴x=2 ，
∴AD=4 ，
故答案为：4 .
【分析】由题意可设设AE=x，则AD=2x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得AE：AB=AB：AD，代入可求得x的值，则AD的值可求解。
13．（2018九上·娄星期末）如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为 ．
【答案】4
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵这三个正方形的边都互相平行，
∴它们均相似，
∴ = ，解得：x=4.
故答案为：4.
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得，进行计算就可以判断．
三、解答题
14．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
15．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由．
【答案】解：当 矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，有，即，
∴20(30+2x)=30(20+2y)，
解得
答：时矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】根据题意可得，化简整理即可求出答案.
16．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1．
（1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数．
（2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）解：四边形四边形，
（2）解：∵四边形四边形，
四边形ABCD的周长.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据相似多边形对应角相等，求出∠C，再根据四边形内角和360°，求出 ∠D的度数
(2)根据相似多边形对应边成比例，列出比例式求出BC，AD即可.
17．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AE平分交BC于点，过点作，交AD于点，连结BF.
（1）求证：BF平分.
（2）若，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABEF是平行四边形.
平分，
.
.
.
四边形ABEF是萲形.
平分；
（2）解：四边形ABEF为菱形，
.
四边形ABCD与CEFD相似，
，即.
解得，.
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）菱形的对角线平分一组对角，若能证得四边形ABEF为菱形，就可以得到BF平分∠ABC；四边形ABCD是平行四边形，得到AF∥BE，两直线平行，内错角相等，得出∠FAE=∠BEA；题目已知∠FAE=∠BAE，所以∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；题目已知AB∥EF，加上AF∥BE，得出四边形ABEF是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此平行四边形ABEF是菱形，所以BF平分∠ABC；
（2）由相似多边形对应边成比例可得；由（1）得ABEF为菱形，AB=AF=EF=BF=6，所以，EC＞0，所以EC=，由此BC=BE+CE=6+=.
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
19．（2020九上·郑州月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
【知识点】相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可；
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.
1 / 1【基础版】北师大版数学九年级上册 4.3 相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·呈贡月考）下面几对图形中，相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023九上·贵阳月考） 已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·赵县月考）如图，四边形和相似，则和的大小分别为（ ）
A． 30 B． 33 C． 30 D． 33
4．（2023九上·宁远期中）下列说法正确的有个（ ）
任意两个矩形都相似 任意两个正方形都相似
任意两个等边三角形都相似 任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列说法中不正确的是（ ）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平分线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
6．（2023九上·榆树月考）下列各选项中的两个图形是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．有下列几个命题：
①四条边相等的四边形都相似；
②四个角都相等的四边形都相似；
③三条边相等的三角形都相似；
④所有的正十二边形都相似．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021九上·宣城期中）在下面的图形中，相似的一组是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB =a(cm)，宽BC=b(cm)，E，F分别为AB，CD的中点．将这张纸片沿直线EF对折后，矩形EFDA与矩形ABCD相似，则a：b=
10．两个相似多边形的面积比为25：9，其中一个多边形的周长为45，则另一个多边形的周长为 .
11．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
12．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册4.3 相似多边形 同步练习）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形AB
CD相似，AB=4，则AD的长度为 ．
13．（2018九上·娄星期末）如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为 ．
三、解答题
14．（2023九上·九台期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH．若AB＝18，EF＝4，FG＝6，∠B＝77°，∠C＝83°，∠E＝117°，求线段BC的长和∠H的大小．
15．在一矩形ABCD的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等．花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似？请说明理由．
16．已知四边形ABCD∽四边形A1B2C1D1．
（1）若∠A=40°，∠B=110°，∠C1=90°，求∠D的度数．
（2）若AB=9，CD=15，A1B1=6，A1D1=4，B1C1=8，求四边形ABCD的周长．
17．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AE平分交BC于点，过点作，交AD于点，连结BF.
（1）求证：BF平分.
（2）若，且四边形ABCD与四边形CEFD相似，求BC的长.
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
19．（2020九上·郑州月考）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、不相似，不符合题意；
B、不相似，不符合题意；
C、相似，符合题意；
D、不相似，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】如果两个多边形的边数相同，对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似.
2．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：AB：BC=4：3，
A、长：宽=2：1.5=4：3，A符合题意；
B、长：宽=2：1.2=5：8，B不符合题意；
C、长：宽=3：2，C不符合题意；
D、长：宽=2.5：1.5=5：3，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个矩形长、宽对应成比例即可相似进行分析解答即可.
3．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】四边形和相似，
故答案为：D.
【分析】利用相似图形的性质得到对应边成比例，对应角相等，从而求解.
4．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
综合分析可得，下确的是（2）和（3），共2个，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形定义判定。如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．
5．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此D错误，
故答案为：D.
【分析】本题考查的是相似多边形的性质和相似三角形的性质类似，即相似多边形的周长比，对应三线比都等于相似比，对应边之比是相似比，面积比是相似比的平方.
6．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：
A：两个图形的形状不同，不是相似图形，A不符合；
B：两个图形的形状不同，不是相似图形，B不符合；
C：两个图形的形状不同，不是相似图形，C不符合；
D：两个图形的形状相同，只是大小不同，是相似图形，D符合。
故答案为：D
【分析】根据相似图形的定义进行分析判断即可。特别要注意分辨B中两个图形的不同之处。
7．【答案】B
【知识点】相似多边形；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①四条边相等的四边形不一定都相似，例如边长相等的菱形和正方形，故原说法错误；
②四个角都相等的四边形都相似，例如边长不相等的两个矩形，故原说法错误；
③三条边相等的三角形都相似，此说法正确；
④所有的正十二边形都相似，此说法正确．
则正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形就叫相似图形，可判断①②说法错误；根据如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，可判断③④说法正确；即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、六边形与五边形不可能是相似图形，故本选项不符合题意；
B、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；
C、∵ ，
∴两直角三角形相似，故本选项符合题意．
D、两图形不是相似图形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解即可。
9．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意可得AB=DG=a，BC=DA=EF=b，，
∵矩形EFDA与矩形ABCD相似，
∴，
整理得：
解得：，
则.
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的对应边之比相等可得，整理求解得即可．
10．【答案】75或27
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：分类讨论：当周长为45的多边形是较大多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=27，即另一个多边形的周长为27；
当周长为45的多边形是较小多边形时，设另一个多边形的周长为x，则，解得x=75，即另一个多边形的周长为75，综上可得该多边形的周长为75或27.
故答案为：75或27.
【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，分两种情况建立方程，求解可得答案.
11．【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
12．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设AE=x，则AD=2x，
∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，
∴AE：AB=AB：AD，
∴AB2=2x2，
∴AB= x=4，
∴x=2 ，
∴AD=4 ，
故答案为：4 .
【分析】由题意可设设AE=x，则AD=2x，根据相似多边形的性质，相似多边形的对应边成比例可得AE：AB=AB：AD，代入可求得x的值，则AD的值可求解。
13．【答案】4
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵这三个正方形的边都互相平行，
∴它们均相似，
∴ = ，解得：x=4.
故答案为：4.
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等可得，进行计算就可以判断．
14．【答案】解：BC＝27，∠H＝83°
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，
∵AB＝18，EF＝4，FG＝6，
∴，
解得：BC=27，
在四边形ABCD中，∠B=77°，∠C=83°，∠A=117°，
∴∠D=360°-77°-83°-117°=83°，
∴∠H=∠D=83°，
故答案为：27；83°.
【分析】利用相似多边形的性质可得，∠A=∠E=117°，∠D=∠H，再将数据代入求出BC的长，最后利用多边形的内角和求出∠H的度数即可.
15．【答案】解：当 矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似，有，即，
∴20(30+2x)=30(20+2y)，
解得
答：时矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】根据题意可得，化简整理即可求出答案.
16．【答案】（1）解：四边形四边形，
（2）解：∵四边形四边形，
四边形ABCD的周长.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据相似多边形对应角相等，求出∠C，再根据四边形内角和360°，求出 ∠D的度数
(2)根据相似多边形对应边成比例，列出比例式求出BC，AD即可.
17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABEF是平行四边形.
平分，
.
.
.
四边形ABEF是萲形.
平分；
（2）解：四边形ABEF为菱形，
.
四边形ABCD与CEFD相似，
，即.
解得，.
.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1）菱形的对角线平分一组对角，若能证得四边形ABEF为菱形，就可以得到BF平分∠ABC；四边形ABCD是平行四边形，得到AF∥BE，两直线平行，内错角相等，得出∠FAE=∠BEA；题目已知∠FAE=∠BAE，所以∠BAE=∠BEA，由等角对等边得AB=BE；题目已知AB∥EF，加上AF∥BE，得出四边形ABEF是平行四边形；一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此平行四边形ABEF是菱形，所以BF平分∠ABC；
（2）由相似多边形对应边成比例可得；由（1）得ABEF为菱形，AB=AF=EF=BF=6，所以，EC＞0，所以EC=，由此BC=BE+CE=6+=.
18．【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
19．【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
【知识点】相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可；
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形.
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