【培优版】北师大版数学九年级上册 4.3相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·电白期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·馆陶期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
5．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
6．（2019九上·六安期末）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A． B． C． D．
7．（2023九上·石家庄期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（ ）
A． B． C． D．
8．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②) ，需要如图①的菱形的个数是（ ）．
A．11个 B．121个 C．22个 D．242 个
二、填空题
9．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
10．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
11．（2023九上·南海期中）一块矩形绸布的宽，长，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是 .
12．（2021九上·包河期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
13．（2021九上·顺德期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作要样板为图中的正八边形ABCDEFGH，已知八卦模型图的周长为10cm，在模型放大3倍的样板图中AB＋BC＋CD＋DE＝ cm．
三、解答题
14．（2022九上·京山期中）如图，要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周边衬所占面积是封面面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求上下边衬的宽.
15．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
16．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
17．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(1，3)，B(1，1)，C(3，2)，D(2，3)．
（1）将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到一个新的四边形EFGH．在图中画出四边形EFGH．
（2）从四边形ABCD到四边形EFGH属于什么图形变化？
（3）对于这两个四边形，你能得出什么结论？请写出三条你认为正确的结论．
18．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
19．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
20．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或(舍去)，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出a的值即可。
2．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵长为8cm，宽为4cm的矩形的面积是8×4=32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，
∴留下的矩形的面积=32×=8cm2，
故答案为：C.
【分析】先求出相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，再将数据代入求出阴影部分的面积即可.
3．【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，
∴放大后的宽为6cm，
∴放大后的矩形的面积为6×10=
故答案为：A
【分析】根据相似图形的性质即可得到放大后的宽为6cm，再根据矩形的面积公式即可求解。
4．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
6．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，结合相似图形的性质即可得到，则不难得到答案.
7．【答案】A
【知识点】相似多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：AC=，
∵矩形ACC1B1∽矩形ADCB；，
∴，
∴，
同理可得，AC2=，
AC3=，
......
∴AC2022 =.
故答案为：A。
【分析】根据相似多边形的性质，通过计算找出规律，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 设需要x个，根据题意，
解得：x=121．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式，求解即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
10．【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
11．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
解得a=
故答案为：
【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程，即可求解．
12．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
13．【答案】15
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原图周长为，放大后的图为，
，放大了3倍，
，
cm，
又是正八边形，
cm，
故答案为：15．
【分析】利用相似的性质可得，可得，再利用正多边的性质可得。
14．【答案】解：∵封面长40cm，宽30cm，
∴封面的长宽比为.
设中间的矩形的长为4xcm，宽为3xcm，由题意得：
，
解得：，
∵不符合题意，舍去，
∴.
∴上下边衬为：.
答：上下边衬的宽为5cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设中间的矩形的长为4xcm，宽为3xcm，用整个封面的面积-中间图案矩形的面积= 四周边衬所占面积列出方程，求解并检验即可.
15．【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
16．【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
17．【答案】（1）解：如图所示： 四边形EFGH即为所求，
（2）解：从四边形ABCD到四边形EFGH属于相似变化；
（3）解：这两个四边形的相似比为：1：2，面积比为：1：4，对应边平行，对应顶点连线相交于一点．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）首先根据题意分别求出四边形ABCD的对应点E，F，G，H的坐标，然后描点连线即可解答；
（2）根据相似多边形的定义即可解答；
（3）利用相似多边形的性质可得出这两个四边形的相似比、面积比等相关结论．
18．【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
19．【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；图形的相似
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
20．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
1 / 1【培优版】北师大版数学九年级上册 4.3相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2022九上·电白期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=1，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或(舍去)，
，
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出a的值即可。
2．（2024九上·威宁期末）如图，在长为8cm，宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下的矩形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵长为8cm，宽为4cm的矩形的面积是8×4=32cm2， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，
∴留下的矩形的面积=32×=8cm2，
故答案为：C.
【分析】先求出相似比为4：8=1：2，面积比是1：4，再将数据代入求出阴影部分的面积即可.
3．（2024九上·馆陶期末）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，
∴放大后的宽为6cm，
∴放大后的矩形的面积为6×10=
故答案为：A
【分析】根据相似图形的性质即可得到放大后的宽为6cm，再根据矩形的面积公式即可求解。
4．（2024九上·杭州月考）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元 B．720元 C．1080元 D．2160元
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大了9倍，
∴成本扩大9倍，为
故答案为：C.
【分析】根据题意得到广告牌的面积扩大了9倍，进而即可求解.
5．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
6．（2019九上·六安期末）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，
∵各种开本的矩形都相似，
∴ ，
∴ ．
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，结合相似图形的性质即可得到，则不难得到答案.
7．（2023九上·石家庄期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AC1为边，按逆时针方向作矩形AC1C2B2，使矩形AC1C2B2∽矩形ACC1B1，…，按照此规律作下去，则边AC2022的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形；探索图形规律
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：AC=，
∵矩形ACC1B1∽矩形ADCB；，
∴，
∴，
同理可得，AC2=，
AC3=，
......
∴AC2022 =.
故答案为：A。
【分析】根据相似多边形的性质，通过计算找出规律，即可得出答案。
8．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②) ，需要如图①的菱形的个数是（ ）．
A．11个 B．121个 C．22个 D．242 个
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解： 设需要x个，根据题意，
解得：x=121．
故答案为：B．
【分析】根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方列式，求解即可得出答案.
二、填空题
9．（2024九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，已知矩形AFED与原矩形ABCD相似，则原矩形的较长边与较短边的比值是 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形，
∴.
∵矩形AFED与原矩形ABCD相似，
∴，
∴
故
故答案为：.
【分析】根据矩形ABCD被分割为3个面积相等的小矩形， 知道小矩形与大矩形的面积比为1：3，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，可以得到相似比，从而可得长边与短边的比值.
10．（2020九上·海曙期末）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=4，剪去一个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF∽矩形BCDA，则CF的长为 。
【答案】1
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形EBCF∽矩形BCDA，
∴，EF=AD=2
∴
解之：CF=1.
故答案为：1.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，据此列出比例式，就可求出CF的长。
11．（2023九上·南海期中）一块矩形绸布的宽，长，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值应当是 .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴
解得a=
故答案为：
【分析】根据裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程，即可求解．
12．（2021九上·包河期中）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后计算求解即可。
13．（2021九上·顺德期中）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图是八卦模型图，其制作要样板为图中的正八边形ABCDEFGH，已知八卦模型图的周长为10cm，在模型放大3倍的样板图中AB＋BC＋CD＋DE＝ cm．
【答案】15
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设原图周长为，放大后的图为，
，放大了3倍，
，
cm，
又是正八边形，
cm，
故答案为：15．
【分析】利用相似的性质可得，可得，再利用正多边的性质可得。
三、解答题
14．（2022九上·京山期中）如图，要设计一本书的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周边衬所占面积是封面面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求上下边衬的宽.
【答案】解：∵封面长40cm，宽30cm，
∴封面的长宽比为.
设中间的矩形的长为4xcm，宽为3xcm，由题意得：
，
解得：，
∵不符合题意，舍去，
∴.
∴上下边衬为：.
答：上下边衬的宽为5cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】 设中间的矩形的长为4xcm，宽为3xcm，用整个封面的面积-中间图案矩形的面积= 四周边衬所占面积列出方程，求解并检验即可.
15．如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
【答案】（1）解：不相似，理由如下：
∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
∴，
∴
∴矩形ABCD与矩形A'B'C'D' 不相似；
（2）解：若矩形ABCD和矩形相似，则或，即，或，解得或.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】 （1）因为矩形的对应角都相等，只需证明两个矩形的对应边是否成比例即可判断，根据题中的数据计算可得矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似；
（2）由题知两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似，根据对应边成比例，可列式即可求出x的值．
16．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
17．如图，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(1，3)，B(1，1)，C(3，2)，D(2，3)．
（1）将四边形ABCD各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，得到一个新的四边形EFGH．在图中画出四边形EFGH．
（2）从四边形ABCD到四边形EFGH属于什么图形变化？
（3）对于这两个四边形，你能得出什么结论？请写出三条你认为正确的结论．
【答案】（1）解：如图所示： 四边形EFGH即为所求，
（2）解：从四边形ABCD到四边形EFGH属于相似变化；
（3）解：这两个四边形的相似比为：1：2，面积比为：1：4，对应边平行，对应顶点连线相交于一点．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）首先根据题意分别求出四边形ABCD的对应点E，F，G，H的坐标，然后描点连线即可解答；
（2）根据相似多边形的定义即可解答；
（3）利用相似多边形的性质可得出这两个四边形的相似比、面积比等相关结论．
18．（2023九上·滨江期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形.
（1）若原矩形的长，宽.问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由.
（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式.
【答案】（1）解：不相似.理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似.
（2）解：∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即.
【知识点】图形的相似
【解析】【分析】（1）由题意可得：划分后小矩形的长AD=4，宽AE=2，然后根据对应边成比例的两个图形相似进行判断；
（2）同（1）可得AD=b，AE=，由每个小矩形与原矩形相似可得，据此解答.
19．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；图形的相似
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
20．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
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