【提升版】北师大版数学九年级上册4.3相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·织金期末）如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
2．（2022九上·瑞安期末）如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
5．如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
6．（2020九上·银川期末）如图，把矩形 中的 边向上翻折到 边上，当点B与点F重合时，折痕与 边交于点E，连接 ，若四边形 与矩形 恰好相似，若 时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021九上·瑶海期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·薛城期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
10．（2023九上·镇海区期末）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
11．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
12．（2022九上·长春期末）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 元．
13．（2020九上·奎文期末）已知平行四边形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 为位似中心，作平行四边形 的位似图形平行四边形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，点 的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．（写出一个即可）
三、解答题
14．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
15．如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．
（1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．
（2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
16．在一张比例尺为1：10000的地图上，一个多边形地区的周长为70cm，面积为330cm2．这个地区的实际周长是多少？实际面积是多少？
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
19．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形四边形，
∴，
∵，，，
∴，
解得：x=10，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将数据代入求出x的值即可.
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；图形的剪拼；相似多边形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是正方形，
∴，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，，
∴.
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形都相似，
∵矩形的面积是矩形面积的2倍，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据相似图形的定义结合题意得到，进而化简即可求解。
6．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；相似多边形
【解析】【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ ， ，
解得x1= ，x2= （不合题意舍去），
经检验x1= 是原方程的解.
故答案为：A.
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，
设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故答案为：D
【分析】先求出，再求出x，最后计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
9．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
10．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得DE=DC，根据相似图形的性质可得，代入化简可得AD2=CD2，据此求解.
11．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
12．【答案】1080
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【分析】利用相似多边形的性质求出扩大后的广告牌的面积，再计算即可。
13．【答案】（-2，-6）或（2，6）
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵平行四边形 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵以 为位似中心，点 的对应点为点 ，位似图形与原图形的位似比为2：3，
∴点 的坐标为： 或 即（-2，-6）或（2，6）．
故答案为：（-2，-6）或（2，6）．
【分析】利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点F的点的坐标。
14．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°﹣（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，
∴，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度．
15．【答案】解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=BC，
根据相似矩形对应边成比例，
∴a a=1，
解得a=；
（2）如图所示：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．
16．【答案】解：设这个地区的实际周长是x km，实际面积为y km2，
根据题意得，
解得：x=700000cm=7km，
，
解得y=330×108cm2=3.3km2．
答：这个地区的实际周长是7km，实际面积是3.3km2．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设这个地区的实际周长是x km，实际面积为y km2，由比例尺的定义可列比例式，然后求出x的值，并把结果的单位化成km即可求出实际周长；利用面积的比等于相似比的平方可得，然后求出y的值，并把结果的单位化成km2即可求出实际面积．
17．【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
18．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
19．【答案】（1）2；2
（2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，
∵两个矩形相似，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克.
【知识点】轴对称的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
故答案案为：2；2；
【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
（2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出；
（3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克.
1 / 1【提升版】北师大版数学九年级上册4.3相似多边形 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·织金期末）如图四边形四边形，，，，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵四边形四边形，
∴，
∵，，，
∴，
解得：x=10，
故答案为：D.
【分析】利用相似多边形的性质可得，再将数据代入求出x的值即可.
2．（2022九上·瑞安期末）如图，，，，是正方形边上的点，且，和将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形，若正方形和四边形的面积之比为，则（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；图形的剪拼；相似多边形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形EHFG是正方形，
∴，
由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，，，
∴.
∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为，
∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案.
3．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
4．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
5．如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A．0.618 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵矩形都相似，
∵矩形的面积是矩形面积的2倍，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先根据相似图形的定义结合题意得到，进而化简即可求解。
6．（2020九上·银川期末）如图，把矩形 中的 边向上翻折到 边上，当点B与点F重合时，折痕与 边交于点E，连接 ，若四边形 与矩形 恰好相似，若 时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；相似多边形
【解析】【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴ ， ，
解得x1= ，x2= （不合题意舍去），
经检验x1= 是原方程的解.
故答案为：A.
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可.
7．（2021九上·瑶海期末）若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为，则剩下的小矩形的较短边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，
设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，
由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似
∴，解得：x
∵（舍去）
∴
故答案为：D
【分析】先求出，再求出x，最后计算求解即可。
8．（2021九上·薛城期中）如图，一块矩形ABCD绸布的长AB=a，宽AD=3，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形ABCD绸布相似，则a的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：∵裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出 ，再计算求解即可。
二、填空题
9．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似多边形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，
又 EH=EF，
∴（ASA）
∴AE=BF，
∴EF=，
∵两个正方形相似，且相似比，
∴，
∴，
∴，
∴，
又 AE＜BE，
∴.
故答案为：.
【分析】题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而，得，EF也用BE和AE表示出来了，代入相似比得，从而算出，题目告知AE＜BE，因此.
10．（2023九上·镇海区期末）如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得DE=DC，根据相似图形的性质可得，代入化简可得AD2=CD2，据此求解.
11．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
12．（2022九上·长春期末）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是 元．
【答案】1080
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故答案为：1080．
【分析】利用相似多边形的性质求出扩大后的广告牌的面积，再计算即可。
13．（2020九上·奎文期末）已知平行四边形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 为位似中心，作平行四边形 的位似图形平行四边形 ，位似图形与原图形的位似比为 ，点 的对应点为点 ，则点 的坐标为 ．（写出一个即可）
【答案】（-2，-6）或（2，6）
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：∵平行四边形 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵以 为位似中心，点 的对应点为点 ，位似图形与原图形的位似比为2：3，
∴点 的坐标为： 或 即（-2，-6）或（2，6）．
故答案为：（-2，-6）或（2，6）．
【分析】利用平行四边形的性质结合位似图形的性质得出点F的点的坐标。
三、解答题
14．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°﹣（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，
∴，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度．
15．如图所示，现有边长为1，a（a＞1）的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出a的值．
（1）把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似．
（2）把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
【答案】解：（1）∵是自相似2分割，
∴BF=FC=BC，
根据相似矩形对应边成比例，
∴a a=1，
解得a=；
（2）如图所示：
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据相似矩形对应边成比例列出比例式，代入数据求解即可；
（2）把矩形三等分就可以自相似3分割，先纵向分割出一个小矩形，再横向二等分也可以得到矩形自相3分割，然后根据相似矩形对应边成比例列式求解．
16．在一张比例尺为1：10000的地图上，一个多边形地区的周长为70cm，面积为330cm2．这个地区的实际周长是多少？实际面积是多少？
【答案】解：设这个地区的实际周长是x km，实际面积为y km2，
根据题意得，
解得：x=700000cm=7km，
，
解得y=330×108cm2=3.3km2．
答：这个地区的实际周长是7km，实际面积是3.3km2．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设这个地区的实际周长是x km，实际面积为y km2，由比例尺的定义可列比例式，然后求出x的值，并把结果的单位化成km即可求出实际周长；利用面积的比等于相似比的平方可得，然后求出y的值，并把结果的单位化成km2即可求出实际面积．
17．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第四章 图形的相似 单元检测a卷）图中的两个多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
（1）求∠F的度数；
（2）如果多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，求C1D1的长度．
【答案】（1）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1相似，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°，∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，得多边形ABCDEF的内角和为180°×(6－2)＝720°，
∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°
（2）解：∵多边形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1的相似比是1：1.5，且CD＝15cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）由相似多边形的对应角相等和已知条件可得∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°，再根据多边形内角和=（n-2）=（6-2），用求得的六边形的内角和减去已知的角的度数即为∠F的度数；
（2）根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可求解。
18．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.1.4 比例线段 同步练习）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
19．如图所示，系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸.
（1）填空：纸面积是纸面积的 倍，纸周长是纸周长的 倍.
（2）根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比.
（3）设1张纸张的重量为克，试求出1张纸张的质量.(用含的代数式表示)
【答案】（1）2；2
（2）解：设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，
∵两个矩形相似，
∴，
∴；
（3）解：由（1）可得对裁后的矩形重量是对裁前的，即克.
【知识点】轴对称的性质；相似多边形
【解析】【解答】解：（1）设矩形面积分别为A1、A2，A1对裁后得到两张A2，所以A1=2A2；设A2的长宽分别为a、b，则A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
故答案案为：2；2；
【分析】（1）一个矩形对裁得到2个新矩形，因此新矩形面积是原矩形的一半，即得A1面积是A2的2倍；通过设A2的长宽分别为a、b，得到A4长宽为、，所以A2的周长为2a+2b，A4的周长为a+b，因此A2周长是A4周长的2倍；
（2）设A1的长宽为m、n，则A2的长宽为n、，由相似矩形对应边成比例得到，算出；
（3）纸张厚度一样，因此重量比即为面积比，通过对裁可得到面积的变化规律为，因此A8纸张的重量为克.
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