数学：13.9逆命题 、逆定理教案（北京课改版八年级上）

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13.9逆命题、逆定理
（一）本课目标
1．理解互逆命题、互逆定理的概念，通过比较，提高学生的辨析能力．
2．掌握勾股定理逆定理的证明，并会运用逆定理判定直角三角形．
（二）教学流程
1．情境导入
游戏：将全班同学分成两组A、B，每组说出一个命题，由另一组说出题设和结论．比一比，看哪组同学说得又快又好．
2．课前热身
生A：“两直线平行，内错角相等”．
生B：题设为“两条直线平行”，结论为“内错角相等”．
生B：“内错角相等，两直线平行”．
生A：题设为“内错角相等”，结论为“两直线平行”．
3．合作探究
（1）整体感知
①通过两组的竞赛，同学们热情高涨，教师引导对所举命题观察、比较，不难发现有的两个命题之间的关系很特殊：其中一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设．这样的两个命题叫互逆命题．
②每个命题都有逆命题，但原命题正确，它的逆命题未必正确，请学生举例说明．
③如果一个定理的逆命题也是定理，则这两个定理叫互逆定理．教师举出前两节学习的关于角平分线、线段垂直平分线的两条定理来加深学生的理解．
（2）四边互动
师：，我们曾学过勾股定理，同学们还记得它的内容吗？
生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
师：这个命题的逆命题是什么呢？
生：如果一个三角形的一条边的平方等于另两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
师：很好．在这里特别要注意．题设中不能出现“斜边、直角边”这些名词．那么，这个逆命题也正确吗？下面我们就一起来证明．哪位同学能画出图形，写出已知、求证？
生：（略）
师：直接证明△ABC是直角很困难．以前我们常通过全等三角形来证明边、角相等，现在要证明∠C=90°，也要向这个方向考虑．我们希望有一个Rt△A′B′C′，∠C′=90°且△ABC≌△A′B′C′，那么∠C=90°，如何作出我们所希望的三角形呢？
生：构造Rt△A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b．
由勾股定理知道，A′B′===c.
根据S．S．S．有，△ABC≌△A′B′C′.
所以，∠C=∠C′=90°
师：很精彩．以前我们证明三角形是不是直角三角形，可以证明三角形有一个内角是90°，或有两条边互相垂直，而勾股定理逆定理提供的判定方法需要通过代数运算“算”出来．通过计算证明几何题也是证明的重要方法．
明确 通过勾股定理逆定理的证明，体会到构造法证明的过程，以及利用逆定理来判定直角三角形的方法．
4．达标反馈
（1）判断题
①任何命题都有逆命题，任何定理都有逆定理．（×）
②“若x=y，则x2=y2”的逆命题是假命题． （∨）
③一个假命题的逆命题一定是错误的． （×）
（2）判断由如下三组线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形．
①a=10，b=24，c=26 （∨）
②a=1．5，b=2，c=2．5 （∨）
③a=b=2，c=4 （∨）
④a=4，b=5，c=6 （×）
（3）已知：△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1（n>1），求证：∠C=90°（提示：通过比较得出c最大，再验证明a2+b2=c2）
5．学习小结
（1）引导学生作知识总结：
①了解原命题与逆命题的关系．
②记住并会证明勾股定理的逆定理．
③能由三边长判定三角形是不是直角三角形．
（2）教师拓展：判定的具体步骤：
①计算两条较短边的平方和与最长边的平方；
②比较这两个数值的大小；
③给出结论．
（三）延伸拓展
1．链接生活
链接一：能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数（或勾股弦数）．勾股数有无数组．你能举出几组？
链接二：古埃及人曾用下面的方法画直角：（如图所示）他们把一根长绳打上等距离的13个结，一个工匠同时握住第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，在第4个结处就得到了一个直角．请你说出这种做法的根据．
2．巩固练习
（1）已知：如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC．（提示：因为BD2+AD2=AB2所以AD⊥BC，又BD=CD所以AD为BC的垂直平分线，从而AB=AC）
（2）已知：如图所示，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．（提示：连结AC，由勾股定理得出AC=5，再由勾股定理逆定理证明AC⊥CD．分别计算△ABC和△ACD的面积即可）
（3）如图所示，已知，CD⊥AB于D，且AC2=AD·AB．求证：△ABC为直角三角形．
（提示：因为BC2=CD2+BD2
而AC2=AD·AB=AD·（AD+BD）=AD2+BD·AD
则CD2=BD·AD
所以BC2=BD·AD+BD2=BD·（AD+BD）=BD·AB
所以AC2+BC2=AB·（AD+BD）=AB2）
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