数学：19.3频率与概率的关系教案（冀教版八年级上）

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19.3 频率与概率的关系
教学目标
1.通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并可根据此估计某一事件发生的概率.
2.能运用树状图列表法计算简单事件发生的概率.
重点：掌握树状图和列表法计算简单事件的概率.
难点：试验中估计某一事件发生的概率.
知识要点
1.频率是指每一个考查对象出现的次数与总次数的比值，它的计算公式是：，而概率是指在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某一个常数，并且在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A），它也是一个比值，即，利用这个公式，就可以计算随机事件的概率.
2.常用的列举法求概率的方法有列表法和画数状图法.
典例剖析
例1 某电视台的娱乐节目有这样的翻奖游戏：正面为数字，背面写有
祝福语或奖金数，如下面的两个表格．游戏的规则是：参加游戏的人可随意翻动一个数字牌，看背面对应的内容，就可以知道是得奖还是得到祝福语．
牌的正面 牌的反面
（1）求“翻到奖金1000元”的概率；（2）求“翻到奖金”的概率．
分析：（1）这里翻牌的可能性是相等的，而“翻到奖金1000元”的牌的可能结果只有1种，因此，这里就是就一张牌的概率；（2）同样可知是由三张牌的概率.
解：（1）因为总共有九张牌，而写有“奖金1000元”的牌只有一张，共“反翻到奖金1000元”的概率为；
（2）因为九张牌中写有奖金的牌有3张：奖金100元，奖金500元，奖金1000元，故翻到奖金的概率为=．
点评：这是一道典型的等可能结果的事件概率问题，关键是对“翻到奖金”含义的理解，“翻到奖金”包括各个等级的奖项，不能理解为某一个等级的奖.
例2 如图1，有四张编号为1，2，3，4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？
（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图2所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．
分析：（1）直接利用概率公式计算；（2）可以利用数状图或列表法，列举所有的等可能性，再利用概率公式进行计算
解：（1）因为四张卡片中有两张卡片上画有眼睛，所以所求概率是．
（2）解法一（树状图）：
第一次抽取
第二次抽取
共有12种可能的结果：
，，，，，，
，，，，，．
其中有两种结果和是符合条件的．
所以贴法正确的概率是．
解法二（列表法）：
1 2 3 4
1 （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
共有12种结果，其中有两种结果（）和（）是符合条件的．
所求的概率是．
点评：对于所有可能出现的结果数不多而又不易于分类的计数问题，我们常可以采用数状图或列表法求出所有可能的结果.
例3 如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：
同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．
（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率．
（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．
分析：转盘游戏是一种常见的游戏，要识别其规则是否公平，只要把各种可能性先列出来，再计算双方获胜的概率，若概率相等，则规则是公平的，否则就不公平.
（1）画树状图如下：
开始
甲 1 2 3
乙 6 7 8 9 6 7 8 9 6 7 8 9
和 7 8 9 10 8 9 10 11 9 10 11 12
可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种．
小颖获胜的概率为．
（2）该游戏规则不公平．
由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，
小亮获胜的概率为，显然，故该游戏规则不公平．
游戏规则可修改为：当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜．
修改游戏规则的方式很多，只要修改后的游戏规则符合题目要求即给分，例如游戏规则也可修改为：
当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜．
点评：公平性问题是概率在日常生活中的一个重要应用，从概率的角度讲，所谓公平就是有关各方的概率相等.解决这类问题的关键是准确地计算概率.对于不公平游戏规则的修改其答案一般不唯一，具有开放性，只要合理即可.
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1 2 3
4 5 6
7 8 9
1
2
3
图2
图1
1
2
3
4
2
1
3
4
3
1
2
4
4
1
2
3
第一次取出
一张
第二次
再取出一张
1
甲
乙
2
3
8
9
7
6
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