2.3确定二次函数的表达式——九年级数学北师大版(2012)下册课时优化训练（含解析）

2.3确定二次函数的表达式
1.如图所示的抛物线的解析式为( )
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点是，当时，y随x的增大而增大，则抛物线解析式可以是( )
A. B. C. D.
3.如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为( )
A.3 B. C. D.
4.如图,在水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点,已知网格的单位长度为1,若二次函数的图像经过其中的3个格点,则a的最大值为( )
A. B.1 C. D.
5.在平面直角坐标系xOy中,四条抛物线如图所示,其解析式中的二次项系数一定小于1的是( )
A. B. C. D.
6.中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.如图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，如图2为截面示意图，线段表示水平的路面，以O为坐标原点所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，抛物线的顶点P到的距离为，则抛物线的函数表达式为( )
A. B.
C. D.
7.已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表：
… 0 3 5 7 9 …
… …
根据表格可知，下列说法中，正确的是( )
A.二次函数的图象在轴下方
B.二次函数中，的最大值是
C.二次函数的图象的对称轴是直线
D.当时，随的增大而增大
8.已知抛物线过点，，，，，，则下列结论中正确的是( ).
A. B. C. D.
9.已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同,且它的顶点坐标为,则这条抛物线的解析式为______.
10.已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），顶点为C，将该二次函数的图象关于x轴翻折，所得图象的顶点为D.若四边形ACBD为正方形，则m的值为____________.
11.已知二次函数的最小值为.若当时,y值为负；若当时,y值为正；则二次函数的解析式是____________.
12.若点,是二次函数与x轴正半轴的两个交点,且满足：在p,q,这三个数中,有一个数可以作为另两个数的平均数,也有一个数可以作为另两个数之积的平方根,则该二次函数顶点坐标为______.
13.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线与x轴交于点和点.抛物线与y轴交于C点，P为该抛物线上一动点.
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）将该抛物线沿y轴向下平移3个单位，点P的对应点为，若，求P的坐标.
14.根据题意，求下列二次函数的表达式.
（1）函数的最大值为0；
（2）抛物线的对称轴是y轴；
（3）当时，，且过点；
（4）已知二次函数当时有最大值3，且它的图像与x轴两交点间的距离为6.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和，
可设，
函数与y轴的交点坐标为，
，
解得：，
，整理可得，
故选：C.
2.答案：D
解析：A、的顶点是，故不符合题意；
B、的顶点是，故不符合题意；
C、的顶点是，当时，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、的顶点是，当时，y随x的增大而增大，符合题意；
故选：D.
3.答案：D
解析：抛物线经过点，且顶点在直线上，
，解得，
，
故选：D.
4.答案：D
解析：如图所示,建立平面直角坐标系,
依题意,经过点A,B,C时,抛物线开口向上,a的值最大,
∵,,
设抛物线解析式为,将代入得,
解得：
故选：D.
5.答案：A
解析：由图象可知：
抛物线的顶点为,与y轴的交点为,根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为,与x轴的一个交点为,根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为,与y轴的交点为,根据待定系数法求得；
抛物线的顶点为,与y轴的交点为,根据待定系数法求得；
综上,解析式中的二次项系数一定小于1的是
故选A.
6.答案：D
解析：，抛物线的顶点P到的距离为，
，，
设抛物线的表达式为，
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
抛物线表达式为，
故选：D.
7.答案：C
解析：由图表可知抛物线过点，，，
代入得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为，
∴顶点坐标为，在x轴上方，选项A错误，不符合题意；
最大值为4，选项B错误，不符合题意；
对称轴为直线，选项C正确，符合题意；
当时，随的增大而增大，选项D错误，不符合题意；
故选：C.
8.答案：B
解析：设抛物线的解析式为：，
把，，代入，得
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
，，
点D、E、F到对称轴的距离分别为4，3，6，
，
.
故选：B.
9.答案：
解析：∵抛物线的顶点坐标为,
∴抛物线解析式可设为,
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同,
∴,
∴所求抛物线的解析式为.
故答案为：.
10.答案：
解析：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，
，，
抛物线的对称轴为直线，
设顶点C的坐标为，
四边形ACBD为正方形，
，
或，
把C点的坐标代入得，或，
解得：，
故答案为：.
11.答案：
解析：根据题意得抛物线的对称轴为直线,
当和时,函数值相等,
当时,y值为负；当时,y值为正,
和时,,
即抛物线经过,,
设抛物线解析式为,
即,
,
,
解得,
抛物线解析式为.
故答案为：.
12.答案：
解析：∵点,是二次函数与x轴正半轴的两个交点,
∴,,
∴或,
∵,,,
∴是的平方根,即,
①当时,
,
解得：,(舍去),
当时,,
②当时,
,
解得：,(舍去),
当,,
综上：二次函数与x轴正半轴的两个交点,,
把,代入得：
,解得：,
∴二次函数表达式为：,
∴该二次函数顶点坐标为,
故答案为：.
13.答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意，得.
解得.
则该抛物线解析式为：；
（2）抛物线是向下平移了3个单位，
.
，，如图，
点P的纵坐标为，
当时，.
，；
的坐标为或.
14.答案：（1）
（2）
（3）
（4）
解析：（1）二次函数有最大值为0，，且，化简得，（舍去），.故二次函数的表达式为.
（2）抛物线的对称轴是y轴，，解得，故二次函数的表达式为.
（3）设二次函数表达式为.把点代入，得，解得，二次函数表达式为.
（4）抛物线对称轴为直线，抛物线与x轴的交点间的距离为6，抛物线与x轴交点坐标为，.设抛物线表达式为.将代入，得，解得，.