22.3实际问题与二次函数 教学课件(共41张PPT)初中数学人教版九年级上册

(共41张PPT)
22.3实际问题与二次函数
第二十二章 二次函数
学习目标
分析实际问题中变量之间的二次函数关系；
能从实际问题中确定二次函数解析式及自变量的取值范围，由此确定实际问题中的最值，进而解决相关的实际问题.
问题导入
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （ 0 ≤ t ≤ 6 ）.小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
探究新知
思考1：二次函数 的最值由什么决定？
x
y
O
x
y
O
最小值
最大值
二次函数 的最值由a及自变量的取值范围决定.
探究新知
思考2：当自变量 x 为全体实数时，二次函数
的最值是多少？
当a＞0时，有 ，此时 .
当a＜0时，有 ，此时 .
探究新知
先判断 是否在限定范围内，若在，则二次函数在 x = 时，取得最大（或小）值；若不在，则根据二次函数的增减性确定二次函数的最值.
思考3：当自变量x有限制时，二次函数 的最值如何确定？
探究新知
【试一试】根据所学解决导入时的问题.
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t - 5t 2
解：由图可知，t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．
∵0 ≤ 3 ≤ 6，
即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m．
可列不等式组： ．
解不等式组得l的范围是 ．
探究新知
【探究1】用总长为60米的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(平方米)随矩形一边长l(米)的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
0＜l＜30
分析：①已知矩形场地的周长是60 m，一边长是l m，则另一边长是 m，场地面积S＝ m2．
②由一边长 l 及另一边长 30-l 都是正数，
(30-l)
l(30-l)
探究新知
根据题意画出该函数图象的草图．
解：根据题意得
S = l(30-l)，
即 S = -l2+30l (0S=-l2+30l
由图象知：
点 是图象的最高点，
即当l = 时，
S有最 （选填“大”或“小”）值．
(15，225)
15
大
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
探究新知
当 时，
也就是说，当 l 是15m时，场地的面积S最大.
∴S有最大值
S有最大值
∵ 0<15<30 ，
S=-l2+30l
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
探究新知
注意：实际问题中求解二次函数最值问题时，需要结合自变量的取值范围，不一定都是在顶点处取得最值.
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2．确定自变量的取值范围；
3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．
随堂练习
450
随堂练习
探究新知
【探究2】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
数量关系
（1）销售额 = 售价×销售量;
（2）利润 = 销售额-总成本 = 单件利润×销售量;
（3）单件利润 = 售价-进价.
探究新知
调整价格包括涨价和降价两种情况．让我们一起来分析吧！
（1）涨价销售
设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
(20+x)
(300-10x)
(20+x)(300-10x)
6000
探究新知
（1）涨价销售
y = (60-40+x)(300-10x) = -10(x-5) 2+6 250 (0≤x≤30)
所以当 x = 5 时，y最大，也就是说在涨价的情况下，
涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元
建立函数关系式：y = (20+x)(300-10x)，
即：y = -10x2+100x+6 000(0≤x≤30)．
探究新知
即降价2.5元时，最大利润是6125元．
建立函数关系式：
y = (60-40-x)(300+20x) = -20x2+100x+6 000 ( 0≤x≤20)
当 时，
（2）降价销售
探究新知
【问题1】根据上述结论，该如何定价才能使所获利润最大？
定价65元，所获利润最大.
【问题2】实际销售时，如果两种调价方案所获得的最大利润相差不大时，你会怎么选择？请联系实际谈一谈.
我会想尽快将商品库存清空，从而选择降价销售.
归纳总结
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 总售价-总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
随堂练习
某商品的进价为每件40元，已知该商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.某商场为了倾销库存，决定对该商品进行降价促销，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.那么如何定价才能使利润最大？
随堂练习
探究新知
【探究3】如图，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．
为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．
探究新知
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为-3.
当y = -3时, - x2 = -3,解得x1= , x2= - (舍去).
所以当水面下降1 m时，水面宽度为 m.
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2，-2)，可得-2=a×22，a = -
这条抛物线表示的二次函数为y = - x2.
水面下降1 m，水面宽度增加 m.
探究新知
思考：还有其他建坐标系的方式吗？
注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．
x
y
O
x
y
O
x
y
O
归纳总结
解决抛物线型实际问题的一般步骤
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
随堂练习
6m
随堂练习
B
D
小结
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1．审：仔细审题，理清题意．
2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数．
3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式．
4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题．
5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
6．答：写出答案．
谢谢各位同学的观看