第七章 回顾与思考学案（6课时，无答案）北师大版数学八年级上册

回顾与思考
【第一课时】
平行线的证明
【学习目标】
1．对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识；
2．体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。
【学习过程】
一、自学指导：
1．大胆猜想：
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
n2-n+11
是否是质数
2．某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数。你认为呢？
由此可知：要判断一个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的，必须有根有据地进行推理。
【达标检测】
1．当n为正整数时，的值一定是质数吗？
2．八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值（n=1，2，3，…39）代入式子，结果发现式子的值都是质数，于是他们猜想：“对于所有的自然数，式子的值都是质数。”你认为这个猜想正确吗？验证一下n=40的情形。
【第二课时】
定义与命题（1）
【学习目标】
了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。
【学习过程】
一、 自学指导：
1．（1）什么是定义？
定义： 。
（2）如右图某地的一个灌溉系统
如果B处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
如果C处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
如果D处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
“如果……那么……”都是对事情进行判断的句子。 叫做命题。
2．下列语句为命题的是（ ）
A．你吃过午饭了吗？ B．过点A作直线MN
C．同角的余角相等 D．红扑扑的脸蛋
二、练一练
1．下列语句中，是命题的是 ( )
(A)直线AB和CD垂直吗
(B)过线段AB的中点C画AB的垂线
(C)同旁内角不互补，两直线不平行
(D)连结A、B两点
2．已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直。其中，正确命题的个数为（ ）
A、0 B、1个 C、2个 D、3个
3．下列命题不正确的是( )
(A)一组邻边相等的平行四边形是菱形
(B)直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
(C)等腰梯形同一底上的两个角相等
(D)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【达标检测】
1．① 定义的含义：对 和 的含义加以描述，作出明确的 ，就是它们的定义；
② 命题的含义： 一件事情的句子，叫做命题，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题。
2．命题的判断只有两种形式，要么肯定，要么否定。作判断时，必须泾渭分明，不能模棱两可；二是命题的句子只能是完整的句子，对一件事情的前因后果应叙述完整。从语法上讲，它应是陈述句，不能是祈使句、疑问句或感叹句。
【第二课时】
定义与命题（2）
【学习目标】
1．了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；
2．了解命题中的真命题、假命题、定理的含义。
【学习过程】
一、自学指导：
1．一般地命题都可以写成 的形式，其中 引出的部分是条件，
引出的部分是结论，每个命题都有 两部分组成。
2．下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
条件： ；结论：
（2）如果a＞b，b＞c，那么a＝c；
条件： ；结论：
3． 是真命题； 是假命题。
4．带着“如何证明一个命题是真命题”的问题，阅读P168-169页了解“公理”、“证明”“定理”的含义。
5．本教材选用的公理有：
（1） 。
（2）
（3） 。
（4） 。
（5） 。
（6） 。
二、练一练
1．将下列命题改成“如果……，那么……”的形式，并指出条件和结论
（1）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（2）菱形的四条边都相等；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）等角的余角相等；
（5）对顶角相等。
2．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出是真命题还是假命题。
（1）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点；
（2）一个角的补角只有一个；
（3）∠1与∠2是同位角吗？
（4）直线AB与CD相交于点O；
（5）平面内两条相交的直线不可能垂直于同一条直线。
3．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院中玩球，一不小心击中了李大爷的窗户，李大爷跑出来查看，发现一块窗户的玻璃碎了，李大爷问：“是谁闯的祸？”
甲说：“是乙不小心造成的。”
乙说：“是丙造成的。”
丙说：“乙说的不是实话。”
丁说：“反正不是我闯的祸。”
这四个小朋友里只有一个人说了实话，请你推断一下究竟是谁闯的祸呢？
三、记一记
1．公认的真命题称为公理，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理。
2．判断一个命题是否是真命题，可用已有的几何知识及公理进行推理证明，判断一个命题是否是假命题则可用举反例的办法。
【第三课时】
平行线的判定（1）
【学习目标】
1．熟练证明的基本步骤和书写格式；
2．会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论。
【学习过程】
一、自学指导：平行线判定公理： 同位角相等，两直线平行
1．完成下列各题：
（1）已知：如右图所示，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1和∠2互补。利用平行线判定公理证明a∥b
由此得，平行线判定定理1： ；
（2）已知：如右图所示，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2利用平行线判定公理或上述已证明的判定定理证明a∥b
由此得，平行线判定定理2： 。
二、练一练
1．已知：如右图所示，直线a，b被直线c所截，且∠1+∠2=180°
求证：a∥b 你有几种证明方法？请选择其中两种方法来证明
2．证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角的平分线互相平行。（要求画图，写出已知、求证、证明）
三、记一记：证明命题的一般步骤：
（1）根据题意画出图形（若已给出图形，则可省略）
（2）根据题设和结论，结合图形，写出已知和求证；
（3）经过分析，找出已知退出求证的途径，写出证明过程；
（4）检查证明过程是否正确完善。
【第四课时】
平行线的判定（2）
【学习目标】
1．了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；
2．能熟练应用平行线的性质公理及定理。
【学习过程】
一、自学指导：平行线性质公理：两直线平行，同位角相等
1．思考下列各题，你能利用平行线性质公理解决它们吗？
2．充分思考后自学教材P175-176，学完后合上课本完成下列各题，注意逻辑和书写。
（1）已知，如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角。请根据平行线性质公理证明∠1=∠2
由此得平行线性质定理1：
（2） 已知，如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角。请根据平行线性质公理或上题已证的定理证明∠1+∠2=180°
由此得平行线性质定理2：
二、练一练
1．已知：如图，直线a，b，c被直线d所截，且a∥b，c∥b
（1）求证：a∥c
（2）请将（1）题证得的结论用一句话总结出来
三、记一记
1．两直线平行的性质公理及两个性质定理；
2．平行线的性质补充结论
（1）垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线
（2）夹在两平行线之间的平行线段相等；
（3）两条平行线间的距离处处相等；
（4）经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；
（5）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补
【第五课时】
三角形内角和定理的证明
【学习目标】
1．掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用；
2．体会思维实验和符号化的理性作用
【学习过程】
一、自学指导：
1．回忆三角形内角和的探索方式，想一想，根据前面给出的公里 和定理，你能进行论证么？
2．已知：如右图所示，△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
思考：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，这样就相
当于把∠A移到了 的位置，把∠B移到 的位置。
注意：这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA，则：
3．你还有其它方式么（可参考课本179页“想一想”小明的想法；180页联系拓广5）？方法越多越好！
二、练一练
1．已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D和点E分别在AB和AC上，且DE∥BC
求证：∠ADE=50°
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠DBE=30°， ∠EBC=25°，求∠BDE的大小。
3．证明：四边形的内角和等于360°
【第六课时】
关注三角形的外角
【学习目标】
1．掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明；
2．体会几何中简单不等关系的证明；
3．从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形的角作更全面的思考。
【学习过程】
一、自学指导：
1．如图∠1是三角形的一个外角，它与图中其它角有什么关系？
2．仿照证明三角形内角和定理的两个推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
证明：
二、练一练
1．如图，下列哪些说法一定正确
A ∠HEC >∠B
B ∠B+∠ACB=180°—∠A
C ∠B+∠ACB<180°
D ∠B>∠ACD
2．已知：如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠DCA=100°，
求∠B和∠ACB的大小