浙教版数学七上考点突破训练：数轴的左右跳跃、双动点、折线、动态定值模型
一、数轴的左右跳跃模型
1．如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点 C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，………以此类推，按照以上规律第( )次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
2．（2024七上·岳池期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第1次将点A向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点，…，按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点O的距离不小于41．
3．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， 表示第 n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.给出下列结论：①；②1；③；④.其中，正确结论的序号是 .
4．（2023七上·巴彦月考）如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足|a+20|+（b+8）2＝0．
（1）求A、B两点相距多少个单位长度？
（2）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数；
（3）点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．
5．（2023七上·乐清月考）如图，将一辆小车放在数轴（单位长度为1cm）上，小车左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．其中点A，点B表示的数分别为a，b．
（1）若将小车沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将小车沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得a＝ ，b＝ ．
（2）若P为数轴上一动点，其对应的数为x，若|x+a|+|x﹣b|＝42，则x的值为 ．
（3）动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，请问：经过多少时间时，PQ的距离为5个单位长度？
二、数轴的双动点模型
6．（2024七上·鹿寨期末）如图，在数轴上，点A，B分别表示﹣15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒，在运动过程中，当点P，点Q和原点O这三点中的一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，则满足条件整数t的值（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
7．（2024七上·涪城期末） 如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，点以个单位秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动当点到达点时，点表示的数是 ．
8．（2023七上·无为月考）如图，点和点在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点表示的数是6，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点和点之间的距离，且.动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动；当动点到达点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离.
（1）当点在点的右侧且时， .
（2）当点在点的左侧且时， .
9．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式-3) 的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示. 动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒.
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： .
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍.在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值(不必写过程) .
三、数轴的折线模型
10．（2023七上·金华月考）数轴上A，B两点表示的数分别为-6 ，5，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B'处，若B'A=1，则点C表示的数是 ．
11．（2024七下·冷水滩期末）一条数轴上有点A、B、C（图①），其中点A、C表示的数分别是-14、6，现以点B为点，将数轴向右对折，若点A对应的点M落在点B的右边、点C的左边，并且C、M两点的距离是6（图②），则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-7 C．-5 D．0
12．如下图，数轴上，点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到 C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到 B速度变为“水平路线”速度的2倍. 设运动的时间为t秒，问：
（1）动点Q从点C运动到点B需要的时间为 秒；
（2）动点P从点A 运动至 D点需要的时间为多少秒
（3）当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数.
13．（2024七上·南浔期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”
素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示－9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决
（1）探索1 动点P从点A运动至点B需要多少时间？
（2）探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
四、数轴的动态定值（无参型）模型
14．如图，已知A，B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为)秒，则下列结论中正确的有 ( )
①B对应的数是2； ②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，； ④在点 P的运动过程中，线段MN的长度不变.
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
15．已知a、b满足 ，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C.
（1）则a= ，b= ，c= .
（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动·请问：是否存在一个常数m使得m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变·若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由.
16．如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，在 A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动. 设两个小球运动的时间为t，那么：
（1）当0（2）小杨同学发现：当0（3）在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6 请直接写答案.
17．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合.一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n.如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 . (用含t的式子表示) ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发.
①求点P运动多少秒追上点Q ②求点 P运动多少秒时与点Q相距6个单位 并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以(2) 中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由. (其中QR 表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP 表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离. )
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，
第2次从点B向左移动6个单位长度至点 C，则C表示的数为1+3－6=1+3－3×2=-2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为1+3－6+9=1+3－3×2+3×3=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为1+3－6+9－12=1+3－3×2+3×3-3×4=-5；
第5次移动后表示的数为-5+15=10；
第6次移动后表示的数为10-18=-8；
…；
∴第n次移动后表示的数是 .
∵
∴n为偶数时，向左平移，，
令，
解得：n=14.
n为奇数时，向右平移，，
令，
解得：.（非整数，舍去）
故答案为：C.
【分析】根据前6次移动后到达的点表示的数，总结得规律：第n次以后后得到的数表示为，则n为偶数时，向左平移，，n为奇数时，向右平移，，分别令，根据平移方向确定的正负，再求解方程即可.
2．【答案】27
【知识点】探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】∵第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为：1-3=-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为：-2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为：4-9=-5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为：-5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为：7-15=-8；
第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为：-8+18=10；
∴则A7表示的数为-8-3=-11，
A9表示的数为：-11-3=-14，
A11表示的数为：-14-3=-17，
A13表示的数为：-17-3=-20，
A15表示的数为：-20-3=-23，
A17表示的数为：-23-3=-26，
A19表示的数为：-26-3=-29，
A21表示的数为：-29-3=-32，
A23表示的数为：-32-3=-35，
A25表示的数为：-35-3=-38，
A27表示的数为：-38-3=-41，
∴至少移动27次后该点到原点的距离不小于41，
故答案为：27.
【分析】先根据题干中的计算方法及在数轴上表示方法找出规律：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，再求解即可.
3．【答案】①②④
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】根据题意可知： ，
由上列举知①②正确，符合题意；
由题意可知，每五个数中前三步前进，后两步后退；即前三个数增加，后两两个数减小；且每个循环中第1个数与第5个数相同，第2个数与第4个数相同；
第5个数是1，第10个数是2，第15个数是3，...
∴第m个循环中最后一个数为：
108÷5=21...3，
∴第21个循环中最后一个数为，
∴，，
∴，
∴，故③错误，不合题意；
2020÷5=404，
∴，
，
∴，故④正确. 符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】根据题意可得： ，从而可发现规律：每五步中中前三步前进，后两步后退；即每5个数中前三个数增加，后两两个数减小；且每个循环中第1个数与第5个数相同，第2个数与第4个数相同；可推得第m个循环中最后一个数为： 据此对每个选项进行计算并判断即可.
4．【答案】（1）解：∵|a+20|+（b+8）2＝0，
又∵|a+20|≥0，（b+8）2≥0，
∴|a+20|＝0，（b+8）2＝0，
∴a＝﹣20，b＝﹣8，
∴A、B两点相距﹣8﹣（﹣20）＝12．
答：A、B两点相距12个单位长度.
（2）解：①若C点在B点的右侧，则，
所以，
所以点C表示的数为﹣8+6＝﹣2；
②若C点在A，B点之间，则．
所以．
所以点C表示的数为﹣8﹣3＝﹣11；
综上，C点表示的数为﹣2或﹣11.
（3）解：﹣20﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+ ﹣2021+2022﹣2023
＝﹣20+（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2021+2022）﹣2023
＝﹣20+1011﹣2023
＝﹣1032
答：P点表示的数为﹣1032．
【知识点】有理数的加、减混合运算；数轴上两点之间的距离；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【分析】（1）先根据 |a+20|+（b+8）2＝0 ，求出a、b的值，继而知道A、B所表示的数，即可求出A、B两点距离；
（2）由（1）可知A、B两点相距12个单位长度，分情况讨论：若C点在B点的右侧和C点在A，B点之间，然后利用条件“C点到B点的距离是C点到A点距离的 ”，列出关系式，即可求出两种情况下C点表示的数 ；
（3）通过P点移动规律，分析每次移动后所表示的数，即可发现规律，可列出算式进行计算即可.
5．【答案】（1）13；20
（2）﹣17.5或24.5
（3）∵动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，
∴经过ts时，P、Q表示的数分别为：13+t，20﹣3t，
当PQ＝5时，则|20-3t-13-t|＝5，即|7-4t|＝5，
解得：t＝0.5或t＝3，
答：经过0.5s或3s时间时，PQ的距离为5个单位长度．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
∴B点由27向左移7个单位得到，
∴
∵A点由27向左移14个单位得到，
∴
故答案为：13，20.
（2）∵
∴
当时，原式=
∴
当时，原式=
∴
故答案为：﹣17.5或24.5.
【分析】（1）由题意得：进而结合题意即可求出a和b的值；
（2）结合（1）知原式为然后进行分类讨论即可求解；
（3）经过ts时，由题意知：P、Q表示的数分别为：13+t，20﹣3t，据此列出方程即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：由题知，P点对应的数为：-15+3t，Q点对应的数为：9+t，
当O为PQ中点时，
根据题意得：15-3t=9+t，
解得：；
当P是OQ的中点时，
根据题意得：2（3t-15）=9+t，
解得：；
当Q是OP的中点时，
根据题意得：2（9+t）=3t-15，
解得：t=33，
故答案为：B.
【分析】分O是PQ中点、P是OQ中点、Q是OP中点三种情况分别列出方程，求解即可.
7．【答案】1
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：点到达点所需时间为（秒，
设当点到达点时，点表示的数是，
由题意得，
解得，
当点到达点时，点表示的数是1．
故答案为：1
【分析】先根据数轴求出点到达点所需时间，设当点到达点时，点表示的数是，进而根据数轴上两点间的距离结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
8．【答案】（1）
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1） 当点在点的右侧时，则OQ=t，OP=OB-PB=6-4t，
∵，
∴t=6-4t，解得：t=.
故答案为：.
（2） 当点在点的左侧时，则OQ=t，OP=PB-OB=4t-6，
∵，
∴4t-6=t，解得t=.
故答案为：.
【分析】（1）当点在点的右侧时，可得OQ=t，OP=OB-PB=6-4t，根据建立方程并解之即可；
（2）当点在点的左侧时，可得OQ=t，OP=PB-OB=4t-6，根据建立方程并解之即可.
9．【答案】（1）解：∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，
∴)
∴﹣20﹣b=0或a﹣12=0，
解得：b=﹣20，a=12；
（2）12-6r；-20+2t
（3）运动时间为秒或秒秒或秒.
【知识点】多项式的项、系数与次数；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（2）∵a=12，b=﹣20，由题意得点A对应的数为12，点B对应的数为－20.
∴设运动时间为t秒时，由题意：
点E在数轴上对应的数为：12-6t，点F在数轴上对应的数为：-20+2t，
故答案为：12-6t，-20+2t；
（3）设运动时间为t秒时，E、F之间的距离为2个单位时.
相遇前两点相距2个单位：
解得：
E、F相遇的时间为：(20+12)÷(2+6)=4(秒)，
故相遇点表示的数为：
相遇后：
点F在原地停留4秒时，点E向左移动的距离为：6×4=24，
故点F在原地停留4秒的过程中，两地相距2个单位：6(t-4) =2，
解得：
点F开始向左移动后，点E在数轴上对应的数为：12-6t，
点F在数轴上对应的数为：-12-5×2(t-4-4) =68-10t.
当E在F左侧时，68-10t- (12-6t) =2，
解得：
当E在F右侧时，12-6t- (68-10t) =2，
解得：
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒.
【分析】（1）把a，b当做参数整理多项式，根据题意，多项式的值与字母x无关，可得含x的项的系数为0，据此可确定a，b的值；
（2）先确定点A和B对应的数，再根据点的运动方向和速度确定t秒时点E，F表示的数即可；移动方向：向左减，向右加；
（3）分相遇前和相遇后两种情况，以及相遇后F原地停留的4秒内和F原点停留4秒后开始运动时FE=2，分别表示出t秒时，F，E对应的数字，利用FE=2得关于t的方程，并求解即可.
10．【答案】0或-1
【知识点】数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：由题知数轴上A，B 两点表示的数分别为-6 ，5，B’A=1，设点C表示的数为x.
①.当点B’落在点A的左侧时，如图所示：
CB=CB’=CA+AB’
5-x=x-(-6)+1
解得x=-1.
②.当点B’落在点A的右侧时，如图所示：
CB=CB’=CA-B’A
5-x=x-(-6)-1
解得x=0.
故答案为0或-1.
【分析】设点C表示的数为x，再分两种情况：①当点B’在点A的左侧时，②当点B’在点A的右侧时，分别列出方程求解即可，
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：AC=6-（-14）=20，
由折叠的性质可得：AB=BM，设，
则，
解得，
则，
点表示的数是：，
故答案为：B
【分析】根据折叠的性质，可设AM=BM=x，根据AB+BM+MC=AC列方程，进而求解即可．
12．【答案】（1）2.5
（2）解：根据题意知：
AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为
(秒)；
（3）设运动时间为t秒，
①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，
显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2P表示的数是-7+2r，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，
解得 t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3P表示的数是 Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t，
∴|t-4|=|17-4t|，
解得或
∴P表示的数是 或
④当4.5P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，
解得 t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是 或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：(1)∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，
∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，
∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
故答案为：2.5.
【分析】 （1） 利用数轴右边的数－数轴左边的数即可得BC的长，用BC的长÷下坡路的速度即得所需时间；
（2）分别计算出AB，BC和CD的长，再分别计算走各段的速度，即可得到结论；
（3）设运动时间为t秒，分四种情况：①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上；②当213．【答案】（1）解：∵点A表示－9，点B表示12，∴OA＝9，OB＝12．
∵P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半．
∴P在OB段速度为1个单位长度/秒，
∴P从点A运动至点B的时间为：秒．
（2）解：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍
∴P在BC段速度为4个单位长度/秒．
由探索1可得：P在BC段运动时间为：（t－16.5）秒．
∴BP＝4（t－16.5）＝4t－66．
∵点B表示12，∴P表示的数为：12＋（4t－66）＝4t－54
（3）解：方法一：设t秒后．
①当P在BO上时
∵，∴PB＋（PB＋BC）＝16．
∵BC＝12，∴PB＝2．
∴PO＝10，∴t＝4.5＋10＝14.5秒．
②当P在CD上时
∵，∴（PC＋BC）＋PC＝16．
∵BC＝12，∴PC＝2，∴t＝4.5＋12＋3＋1＝20.5秒．
方法二：设t秒后．
①当P在BO上时P表示的数为：t－4.5．
∵，∴PB＋（PB＋BC）＝16．
∴12－（t－4.5）＋24－（t－4.5）＝16，解得：t＝14.5秒．
②当P在CD上时P表示的数为：24＋2（t－19.5）＝2t－15．
∵，∴（PC＋BC）＋PC＝16，
∴（2t－15）－12＋（2t－15）－24＝16．解得：t＝20.5秒．
综上所述，动点P运动的时间是14.5秒或20.5秒．
【知识点】数轴的折线（双动点）模型
【解析】【分析】(1)根据路程÷速度=时间计算即可.
(2)先分析点P在各段的速度，再根据路程÷速度=时间计算即可.
(3)分当P在CD上时和当P在CD上时，两种情况进行讨论即可.
14．【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的的中点与n等分点模型；数轴的动态定值（无参型）模型
【解析】【解答】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为4，且AB=6，
∴4－x=6，
∴x=-2.
∴点B对应的数是﹣2，故①错误；
由题意得： (秒) ，
∴点P到达点B时，t=3，故②正确；
∵ 动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
∴点p的位置可以分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵AB=6，BP=2，
∴AP=AB-BP=6-2=4，
∴4÷2=2(秒) ，
时，t=2；
当点P在点 B的左侧，
(秒) ，
时，
综上所述， 时，t=2或4，故③错误；
由③得，点P的位置分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴；
当点P在点B的左侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确.
所以，上列结论中正确的是②④.
故选：D.
【分析】设点B对应的数是x，利用AB=6的4-x=6可得点B表示数，可判断①；用AB÷2，可判断②；分点P在点B的右侧和点P在点B的左侧两种情况，通过BP计算AP，再利用“路程÷速度”计算时间，可判断③；最后分点P在点B的右侧和点P在点B的左侧两种情况，表示MN，可判断④.
15．【答案】（1）2；-3；-5
（2）解：如图，由(1)得|AC|=|2-(-5)|=7，
当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，理由如下：
∵点E、点F分别为CD、AD中点，
∴当点 D运动时，线段EF的长度不发生变化，其值为3.5；
（3）解：假设存在常数m使得m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变.
∵t秒时，点A运动到2+3t，点B运动到－3+2t，点C运动到－5－t，
∴AB=5+t，2BC=4+6t.
∴m·AB－2BC=m(5+t)－(4+6t)=5m+mt－4－6t=5m－4+(m－6)t
∵m·AB－2BC与t的值无关，
∴m-6=0，
解得：m=6，
所以存在常数m，m=6，
使为定值.
即m=6时，m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】 (1)解：∵a、b满足，
∴a-2=0且 ab+6=0.
解得a=2，b=-3.
∴c=2a+3b=-5.
故答案为：2； -3； -5
【分析】 （1）由，和偶次方以及绝对值的非负性得a=2，b=－3，即可计算c的值；
（2）由（1）得AC=7，根据线段中点定义得利用线段的和差表示出EF，即可得到结论；
（3）表示出t秒时点A，B，C运动到的位置，即可得AB和2BC的值，作差得m·AB－2BC=5m－4+(m－6)t，根据结果与t无关，可得m-6=0，即可得m的取值以及m·AB－2BC的定值.
16．【答案】（1）-2t
（2）解：2MB-N4为定值，定值为60，理由如下：
0则；.，
故2MB-NA为定值，定值为60.
（3）t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：(1)点M碰到挡板所需时间为
∴0故答案为：-2t.
(3)①0令MN=6t=1，
则t=1；
②10令MN=120－6t=6，
则t=19.
故t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
故答案为：故t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
【分析】（1）计算得 0（2）计算得 0（3）分017．【答案】（1）-8；10-5t
（2）解：①根据题意得：5t-18=3t
∴t=9，
即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得：5t+6=18+3t
∴t=6
∴此时点P表示的数为：10－5t=10－30=－20；
相遇后相距6个单位长度，依题意得：5t=3t+18+6
∴t=12
∴此时点P表示的数为：10－5t=10－60=－50；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为-20，-50；
（3）解：存在点m，使 QR-OP+mOR为定值， 理由如下：
运动时间为t秒时，Q表示的数分别为：-8+3t，R示的数分别为：4t，P表示的数为：10+5t；
根据题意得：-8+3t<4t<10+5t
∴QR=4t－(－8+3t)=t+8，OP=10+5t，OR=4t
∴QR-OP+mOR=t+8－(10+5t)+m×4t=4(m－1)t－2
当m-1=0，即m=1时，QR-OP+mOR为定值，
定值为：-2.
【知识点】数学思想；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】 (1)∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为：10－18=－8；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
∴点P表示的数为：10－5t .
故答案为：-8；10-5t；
【分析】（1）根据点A表示的数以及AB之间的距离可得点B表示的数.根据题意即可得到点P表示的数；
（2）①根据“追及时间×速度差=追及路程”可得关于t的方程，求解即可得追及时间；
（2）②相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，并列方程求解即可；
（3）表示出运动时间为t秒时Q，R，P表示的数，然后可表示出QR，OP，OR，从而可得 QR-OP+mOR，整理得4(m－1)t－2，令m-1=0，即可得定值以及此时m的取值.
1 / 1浙教版数学七上考点突破训练：数轴的左右跳跃、双动点、折线、动态定值模型
一、数轴的左右跳跃模型
1．如图，A点的初始位置在数轴上表示1的点上，先对A做如下移动：第一次向右移动3个单位长度到达点B，第二次从B点出发向左移动6个单位长度到达点 C，第三次从C点出发向右移动9个单位长度到达点D，第四次从D点出发向左移动12个单位长度到达点E，………以此类推，按照以上规律第( )次移动到的点到原点的距离为20.
A．7 B．10 C．14 D．19
【答案】C
【知识点】数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】解：第1次点A向右移动3个单位长度至点B，则B表示的数，
第2次从点B向左移动6个单位长度至点 C，则C表示的数为1+3－6=1+3－3×2=-2；
第3次从点C向右移动9个单位长度至点D，则D表示的数为1+3－6+9=1+3－3×2+3×3=7；
第4次从点D向左移动12个单位长度至点E，则E表示的数为1+3－6+9－12=1+3－3×2+3×3-3×4=-5；
第5次移动后表示的数为-5+15=10；
第6次移动后表示的数为10-18=-8；
…；
∴第n次移动后表示的数是 .
∵
∴n为偶数时，向左平移，，
令，
解得：n=14.
n为奇数时，向右平移，，
令，
解得：.（非整数，舍去）
故答案为：C.
【分析】根据前6次移动后到达的点表示的数，总结得规律：第n次以后后得到的数表示为，则n为偶数时，向左平移，，n为奇数时，向右平移，，分别令，根据平移方向确定的正负，再求解方程即可.
2．（2024七上·岳池期末）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动：第1次将点A向左移动3个单位长度到达点，第2次将点向右平移6个单位长度到达点，第3次将点向左移动9个单位长度到达点，…，按照这种规律移动下去，至少移动 次后该点到原点O的距离不小于41．
【答案】27
【知识点】探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】∵第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数为：1-3=-2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为：-2+6=4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为：4-9=-5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为：-5+12=7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为：7-15=-8；
第6次从点A5向左移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为：-8+18=10；
∴则A7表示的数为-8-3=-11，
A9表示的数为：-11-3=-14，
A11表示的数为：-14-3=-17，
A13表示的数为：-17-3=-20，
A15表示的数为：-20-3=-23，
A17表示的数为：-23-3=-26，
A19表示的数为：-26-3=-29，
A21表示的数为：-29-3=-32，
A23表示的数为：-32-3=-35，
A25表示的数为：-35-3=-38，
A27表示的数为：-38-3=-41，
∴至少移动27次后该点到原点的距离不小于41，
故答案为：27.
【分析】先根据题干中的计算方法及在数轴上表示方法找出规律：序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，再求解即可.
3．一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， 表示第 n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数.给出下列结论：①；②1；③；④.其中，正确结论的序号是 .
【答案】①②④
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【解答】根据题意可知： ，
由上列举知①②正确，符合题意；
由题意可知，每五个数中前三步前进，后两步后退；即前三个数增加，后两两个数减小；且每个循环中第1个数与第5个数相同，第2个数与第4个数相同；
第5个数是1，第10个数是2，第15个数是3，...
∴第m个循环中最后一个数为：
108÷5=21...3，
∴第21个循环中最后一个数为，
∴，，
∴，
∴，故③错误，不合题意；
2020÷5=404，
∴，
，
∴，故④正确. 符合题意.
故答案为：①②④.
【分析】根据题意可得： ，从而可发现规律：每五步中中前三步前进，后两步后退；即每5个数中前三个数增加，后两两个数减小；且每个循环中第1个数与第5个数相同，第2个数与第4个数相同；可推得第m个循环中最后一个数为： 据此对每个选项进行计算并判断即可.
4．（2023七上·巴彦月考）如图，已知：a、b分别是数轴上两点A、B所表示的有理数，满足|a+20|+（b+8）2＝0．
（1）求A、B两点相距多少个单位长度？
（2）若C点在数轴上，C点到B点的距离是C点到A点距离的，求C点表示的数；
（3）点P从A点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，如此下去，依次操作2023次后，求P点表示的数．
【答案】（1）解：∵|a+20|+（b+8）2＝0，
又∵|a+20|≥0，（b+8）2≥0，
∴|a+20|＝0，（b+8）2＝0，
∴a＝﹣20，b＝﹣8，
∴A、B两点相距﹣8﹣（﹣20）＝12．
答：A、B两点相距12个单位长度.
（2）解：①若C点在B点的右侧，则，
所以，
所以点C表示的数为﹣8+6＝﹣2；
②若C点在A，B点之间，则．
所以．
所以点C表示的数为﹣8﹣3＝﹣11；
综上，C点表示的数为﹣2或﹣11.
（3）解：﹣20﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+ ﹣2021+2022﹣2023
＝﹣20+（﹣1+2）+（﹣3+4）+...+（﹣2021+2022）﹣2023
＝﹣20+1011﹣2023
＝﹣1032
答：P点表示的数为﹣1032．
【知识点】有理数的加、减混合运算；数轴上两点之间的距离；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）
【解析】【分析】（1）先根据 |a+20|+（b+8）2＝0 ，求出a、b的值，继而知道A、B所表示的数，即可求出A、B两点距离；
（2）由（1）可知A、B两点相距12个单位长度，分情况讨论：若C点在B点的右侧和C点在A，B点之间，然后利用条件“C点到B点的距离是C点到A点距离的 ”，列出关系式，即可求出两种情况下C点表示的数 ；
（3）通过P点移动规律，分析每次移动后所表示的数，即可发现规律，可列出算式进行计算即可.
5．（2023七上·乐清月考）如图，将一辆小车放在数轴（单位长度为1cm）上，小车左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．其中点A，点B表示的数分别为a，b．
（1）若将小车沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将小车沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得a＝ ，b＝ ．
（2）若P为数轴上一动点，其对应的数为x，若|x+a|+|x﹣b|＝42，则x的值为 ．
（3）动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，请问：经过多少时间时，PQ的距离为5个单位长度？
【答案】（1）13；20
（2）﹣17.5或24.5
（3）∵动点P从点A出发向右以每秒1个单位的速度匀速运动，同时另一动点Q恰好从B点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，
∴经过ts时，P、Q表示的数分别为：13+t，20﹣3t，
当PQ＝5时，则|20-3t-13-t|＝5，即|7-4t|＝5，
解得：t＝0.5或t＝3，
答：经过0.5s或3s时间时，PQ的距离为5个单位长度．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；有理数在数轴上的表示；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】解：（1）由题意得：
∴B点由27向左移7个单位得到，
∴
∵A点由27向左移14个单位得到，
∴
故答案为：13，20.
（2）∵
∴
当时，原式=
∴
当时，原式=
∴
故答案为：﹣17.5或24.5.
【分析】（1）由题意得：进而结合题意即可求出a和b的值；
（2）结合（1）知原式为然后进行分类讨论即可求解；
（3）经过ts时，由题意知：P、Q表示的数分别为：13+t，20﹣3t，据此列出方程即可求解.
二、数轴的双动点模型
6．（2024七上·鹿寨期末）如图，在数轴上，点A，B分别表示﹣15，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒，在运动过程中，当点P，点Q和原点O这三点中的一点恰好是另外两点为端点的线段的中点时，则满足条件整数t的值（ ）
A．22 B．33 C．44 D．55
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：由题知，P点对应的数为：-15+3t，Q点对应的数为：9+t，
当O为PQ中点时，
根据题意得：15-3t=9+t，
解得：；
当P是OQ的中点时，
根据题意得：2（3t-15）=9+t，
解得：；
当Q是OP的中点时，
根据题意得：2（9+t）=3t-15，
解得：t=33，
故答案为：B.
【分析】分O是PQ中点、P是OQ中点、Q是OP中点三种情况分别列出方程，求解即可.
7．（2024七上·涪城期末） 如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，点以个单位秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以个单位秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动当点到达点时，点表示的数是 ．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：点到达点所需时间为（秒，
设当点到达点时，点表示的数是，
由题意得，
解得，
当点到达点时，点表示的数是1．
故答案为：1
【分析】先根据数轴求出点到达点所需时间，设当点到达点时，点表示的数是，进而根据数轴上两点间的距离结合题意即可列出一元一次方程，从而即可求解。
8．（2023七上·无为月考）如图，点和点在数轴上，点在原点的左侧，点在原点的右侧，点表示的数是6，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离，用表示点和点之间的距离，且.动点从点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点从原点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动；当动点到达点时，，两点同时停止运动.设点的运动时间为秒，用表示点与点之间的距离，用表示点与点之间的距离.
（1）当点在点的右侧且时， .
（2）当点在点的左侧且时， .
【答案】（1）
（2）
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（1） 当点在点的右侧时，则OQ=t，OP=OB-PB=6-4t，
∵，
∴t=6-4t，解得：t=.
故答案为：.
（2） 当点在点的左侧时，则OQ=t，OP=PB-OB=4t-6，
∵，
∴4t-6=t，解得t=.
故答案为：.
【分析】（1）当点在点的右侧时，可得OQ=t，OP=OB-PB=6-4t，根据建立方程并解之即可；
（2）当点在点的左侧时，可得OQ=t，OP=PB-OB=4t-6，根据建立方程并解之即可.
9．已知a、b为常数，且关于x、y的多项式-3) 的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示. 动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒.
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： .
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍.在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值(不必写过程) .
【答案】（1）解：∵关于x、y的多项式的值与字母x取值无关，
∴)
∴﹣20﹣b=0或a﹣12=0，
解得：b=﹣20，a=12；
（2）12-6r；-20+2t
（3）运动时间为秒或秒秒或秒.
【知识点】多项式的项、系数与次数；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：（2）∵a=12，b=﹣20，由题意得点A对应的数为12，点B对应的数为－20.
∴设运动时间为t秒时，由题意：
点E在数轴上对应的数为：12-6t，点F在数轴上对应的数为：-20+2t，
故答案为：12-6t，-20+2t；
（3）设运动时间为t秒时，E、F之间的距离为2个单位时.
相遇前两点相距2个单位：
解得：
E、F相遇的时间为：(20+12)÷(2+6)=4(秒)，
故相遇点表示的数为：
相遇后：
点F在原地停留4秒时，点E向左移动的距离为：6×4=24，
故点F在原地停留4秒的过程中，两地相距2个单位：6(t-4) =2，
解得：
点F开始向左移动后，点E在数轴上对应的数为：12-6t，
点F在数轴上对应的数为：-12-5×2(t-4-4) =68-10t.
当E在F左侧时，68-10t- (12-6t) =2，
解得：
当E在F右侧时，12-6t- (68-10t) =2，
解得：
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒.
【分析】（1）把a，b当做参数整理多项式，根据题意，多项式的值与字母x无关，可得含x的项的系数为0，据此可确定a，b的值；
（2）先确定点A和B对应的数，再根据点的运动方向和速度确定t秒时点E，F表示的数即可；移动方向：向左减，向右加；
（3）分相遇前和相遇后两种情况，以及相遇后F原地停留的4秒内和F原点停留4秒后开始运动时FE=2，分别表示出t秒时，F，E对应的数字，利用FE=2得关于t的方程，并求解即可.
三、数轴的折线模型
10．（2023七上·金华月考）数轴上A，B两点表示的数分别为-6 ，5，点C是线段AB上的一个动点，以点C为折点，将数轴向左对折，点B的对应点落在数轴上的B'处，若B'A=1，则点C表示的数是 ．
【答案】0或-1
【知识点】数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：由题知数轴上A，B 两点表示的数分别为-6 ，5，B’A=1，设点C表示的数为x.
①.当点B’落在点A的左侧时，如图所示：
CB=CB’=CA+AB’
5-x=x-(-6)+1
解得x=-1.
②.当点B’落在点A的右侧时，如图所示：
CB=CB’=CA-B’A
5-x=x-(-6)-1
解得x=0.
故答案为0或-1.
【分析】设点C表示的数为x，再分两种情况：①当点B’在点A的左侧时，②当点B’在点A的右侧时，分别列出方程求解即可，
11．（2024七下·冷水滩期末）一条数轴上有点A、B、C（图①），其中点A、C表示的数分别是-14、6，现以点B为点，将数轴向右对折，若点A对应的点M落在点B的右边、点C的左边，并且C、M两点的距离是6（图②），则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-7 C．-5 D．0
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：AC=6-（-14）=20，
由折叠的性质可得：AB=BM，设，
则，
解得，
则，
点表示的数是：，
故答案为：B
【分析】根据折叠的性质，可设AM=BM=x，根据AB+BM+MC=AC列方程，进而求解即可．
12．如下图，数轴上，点A表示的数为-7，点B表示的数为-1，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到 C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到 B速度变为“水平路线”速度的2倍. 设运动的时间为t秒，问：
（1）动点Q从点C运动到点B需要的时间为 秒；
（2）动点P从点A 运动至 D点需要的时间为多少秒
（3）当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数.
【答案】（1）2.5
（2）解：根据题意知：
AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，
∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，
∴动点P从点A运动至D点需要的时间为
(秒)；
（3）设运动时间为t秒，
①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，
显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；
②当2P表示的数是-7+2r，Q表示的数是9-4(t-2)，
∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，
解得 t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；
③当3P表示的数是 Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t，
∴|t-4|=|17-4t|，
解得或
∴P表示的数是 或
④当4.5P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，
∴t-4-0=0-(8-2t)，
解得 t=4(不合题意，舍去)，
综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是 或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的折线（双动点）模型
【解析】【解答】解：(1)∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，
∴BC=1-(-9)=10(个单位)，
∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，
∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，
∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；
故答案为：2.5.
【分析】 （1） 利用数轴右边的数－数轴左边的数即可得BC的长，用BC的长÷下坡路的速度即得所需时间；
（2）分别计算出AB，BC和CD的长，再分别计算走各段的速度，即可得到结论；
（3）设运动时间为t秒，分四种情况：①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上；②当213．（2024七上·南浔期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”．
探索“折线数轴”
素材1 如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示－9，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为．
素材2 动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度．
问题解决
（1）探索1 动点P从点A运动至点B需要多少时间？
（2）探索2 动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）；
（3）探索3 动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间．
【答案】（1）解：∵点A表示－9，点B表示12，∴OA＝9，OB＝12．
∵P在AO段初始速度为2个单位长度/秒，P在OB段速度为初始速度的一半．
∴P在OB段速度为1个单位长度/秒，
∴P从点A运动至点B的时间为：秒．
（2）解：∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在BC段速度为初始速度的两倍
∴P在BC段速度为4个单位长度/秒．
由探索1可得：P在BC段运动时间为：（t－16.5）秒．
∴BP＝4（t－16.5）＝4t－66．
∵点B表示12，∴P表示的数为：12＋（4t－66）＝4t－54
（3）解：方法一：设t秒后．
①当P在BO上时
∵，∴PB＋（PB＋BC）＝16．
∵BC＝12，∴PB＝2．
∴PO＝10，∴t＝4.5＋10＝14.5秒．
②当P在CD上时
∵，∴（PC＋BC）＋PC＝16．
∵BC＝12，∴PC＝2，∴t＝4.5＋12＋3＋1＝20.5秒．
方法二：设t秒后．
①当P在BO上时P表示的数为：t－4.5．
∵，∴PB＋（PB＋BC）＝16．
∴12－（t－4.5）＋24－（t－4.5）＝16，解得：t＝14.5秒．
②当P在CD上时P表示的数为：24＋2（t－19.5）＝2t－15．
∵，∴（PC＋BC）＋PC＝16，
∴（2t－15）－12＋（2t－15）－24＝16．解得：t＝20.5秒．
综上所述，动点P运动的时间是14.5秒或20.5秒．
【知识点】数轴的折线（双动点）模型
【解析】【分析】(1)根据路程÷速度=时间计算即可.
(2)先分析点P在各段的速度，再根据路程÷速度=时间计算即可.
(3)分当P在CD上时和当P在CD上时，两种情况进行讨论即可.
四、数轴的动态定值（无参型）模型
14．如图，已知A，B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB=6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为)秒，则下列结论中正确的有 ( )
①B对应的数是2； ②点P到达点B时，t=3；③BP=2时，； ④在点 P的运动过程中，线段MN的长度不变.
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④
【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离；数轴的的中点与n等分点模型；数轴的动态定值（无参型）模型
【解析】【解答】解：设点B对应的数是x，
∵点A对应的数为4，且AB=6，
∴4－x=6，
∴x=-2.
∴点B对应的数是﹣2，故①错误；
由题意得： (秒) ，
∴点P到达点B时，t=3，故②正确；
∵ 动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
∴点p的位置可以分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵AB=6，BP=2，
∴AP=AB-BP=6-2=4，
∴4÷2=2(秒) ，
时，t=2；
当点P在点 B的左侧，
(秒) ，
时，
综上所述， 时，t=2或4，故③错误；
由③得，点P的位置分两种情况：
当点P在点B的右侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴；
当点P在点B的左侧，
∵M，N分别为AP，BP的中点，
∴
∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确.
所以，上列结论中正确的是②④.
故选：D.
【分析】设点B对应的数是x，利用AB=6的4-x=6可得点B表示数，可判断①；用AB÷2，可判断②；分点P在点B的右侧和点P在点B的左侧两种情况，通过BP计算AP，再利用“路程÷速度”计算时间，可判断③；最后分点P在点B的右侧和点P在点B的左侧两种情况，表示MN，可判断④.
15．已知a、b满足 ，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C.
（1）则a= ，b= ，c= .
（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动·请问：是否存在一个常数m使得m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变·若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；-3；-5
（2）解：如图，由(1)得|AC|=|2-(-5)|=7，
当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，理由如下：
∵点E、点F分别为CD、AD中点，
∴当点 D运动时，线段EF的长度不发生变化，其值为3.5；
（3）解：假设存在常数m使得m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变.
∵t秒时，点A运动到2+3t，点B运动到－3+2t，点C运动到－5－t，
∴AB=5+t，2BC=4+6t.
∴m·AB－2BC=m(5+t)－(4+6t)=5m+mt－4－6t=5m－4+(m－6)t
∵m·AB－2BC与t的值无关，
∴m-6=0，
解得：m=6，
所以存在常数m，m=6，
使为定值.
即m=6时，m·AB-2BC不随运动时间t的改变而改变.
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】 (1)解：∵a、b满足，
∴a-2=0且 ab+6=0.
解得a=2，b=-3.
∴c=2a+3b=-5.
故答案为：2； -3； -5
【分析】 （1）由，和偶次方以及绝对值的非负性得a=2，b=－3，即可计算c的值；
（2）由（1）得AC=7，根据线段中点定义得利用线段的和差表示出EF，即可得到结论；
（3）表示出t秒时点A，B，C运动到的位置，即可得AB和2BC的值，作差得m·AB－2BC=5m－4+(m－6)t，根据结果与t无关，可得m-6=0，即可得m的取值以及m·AB－2BC的定值.
16．如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，在 A、B两点处各放一个挡板，M、N两个电子小球同时从原点出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变，当两小球第一次相遇时都停止运动. 设两个小球运动的时间为t，那么：
（1）当0（2）小杨同学发现：当0（3）在整个运动过程中，t为何值时M、N两个小球间的距离为6 请直接写答案.
【答案】（1）-2t
（2）解：2MB-N4为定值，定值为60，理由如下：
0则；.，
故2MB-NA为定值，定值为60.
（3）t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的动态定值（无参型）模型；数轴的动点往返运动模型
【解析】【解答】解：(1)点M碰到挡板所需时间为
∴0故答案为：-2t.
(3)①0令MN=6t=1，
则t=1；
②10令MN=120－6t=6，
则t=19.
故t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
故答案为：故t=1s或19s时，MN两个小球间距离为6.
【分析】（1）计算得 0（2）计算得 0（3）分017．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合.一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n.如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒.
（1）数轴上点B表示的数为 ，点P表示的数为 . (用含t的式子表示) ；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发.
①求点P运动多少秒追上点Q ②求点 P运动多少秒时与点Q相距6个单位 并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以(2) 中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由. (其中QR 表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP 表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离. )
【答案】（1）-8；10-5t
（2）解：①根据题意得：5t-18=3t
∴t=9，
即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得：5t+6=18+3t
∴t=6
∴此时点P表示的数为：10－5t=10－30=－20；
相遇后相距6个单位长度，依题意得：5t=3t+18+6
∴t=12
∴此时点P表示的数为：10－5t=10－60=－50；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为-20，-50；
（3）解：存在点m，使 QR-OP+mOR为定值， 理由如下：
运动时间为t秒时，Q表示的数分别为：-8+3t，R示的数分别为：4t，P表示的数为：10+5t；
根据题意得：-8+3t<4t<10+5t
∴QR=4t－(－8+3t)=t+8，OP=10+5t，OR=4t
∴QR-OP+mOR=t+8－(10+5t)+m×4t=4(m－1)t－2
当m-1=0，即m=1时，QR-OP+mOR为定值，
定值为：-2.
【知识点】数学思想；一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离；数轴的线段和差且含参模型
【解析】【解答】 (1)∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为：10－18=－8；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒，
∴点P表示的数为：10－5t .
故答案为：-8；10-5t；
【分析】（1）根据点A表示的数以及AB之间的距离可得点B表示的数.根据题意即可得到点P表示的数；
（2）①根据“追及时间×速度差=追及路程”可得关于t的方程，求解即可得追及时间；
（2）②相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，并列方程求解即可；
（3）表示出运动时间为t秒时Q，R，P表示的数，然后可表示出QR，OP，OR，从而可得 QR-OP+mOR，整理得4(m－1)t－2，令m-1=0，即可得定值以及此时m的取值.
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