江苏省如皋市部分学校2025届高三诊断性测试数学试题（PDF版，含解析）

江苏省如皋市部分学校 2025 届高三诊断性测试
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
2 2
1.已知集合 A x x 8x 7 0 ，B y y 10y 16 0 ，则 A B （ ）
A. x 7 x 8 B. x 7 x 8 C. x 2 x 7 D. x 2 x 7
z 1 i2.已知复数 （ i是虚数单位），则 z的共轭复数是（ ）
2 3i
3 1 i 5 1 5 3 3 4A. B. i C. i D. i
13 13 13 13 13 13 13 13
3.已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为 2和 5，高（单位：cm）为 3，则该圆台的
3
体积（单位 cm ）是（ ）
113 115 117 119
A. B. C. D.
3 3 3 3
4.已知直线 ax by 1 0与圆 x 1 2 y 2 1 2相切，则b 2a的值（ ）
A.与 a有关，与b有关 B.与 a有关，与b无关
C.与 a无关，与b有关 D.与 a无关，与b无关
5.设 x1 x2 x3，“ x x1 x x2 x x3 2”是“ x x1 x x2 x x3 0”的
（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 0，函数 f x sin x x R 在 0， 有三条对称轴和两个极小值，则
3 2
（ ）
13 19 7 13A. B.
3 3 3 3
23 17 17
C. D. 11
3 3 3 3
7.已知数列 Sa *n 的前 n项和为 Sn ，满足 a nn 1 n N ，a1 0，且 aa 1不是整数，则n
可能同时为整数的是（ ）
A. a3a4和a5a6 B.a4a5和a6a7 C.a5a6和a10a11 D. a6a7和a11a12
1
y
8.设 c b a 0，集合 A a,b,c ，集合 B xy x y, x, y A ，若 B中恰有 4
x
个元素，则（ ）
a a
A.集合 B中最小的元素一定等于 ab B.集合 B中最小的元素一定等于 ac
b c
C.集合 B c c中最大的元素一定等于 ac D.集合 B中最大的元素一定等于bc
a b
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 3分，有选错的得 0分.
9.下列 x R的函数是偶函数的是（ ）
A. y sin sin x B. y cos sin x C. y cos cos x D. y sin cos x
10.已知随机变量 X ,Y ，其中Y 3X 1，已知随机变量 X 的分布列如下表
若 E X 3，则（ ）
3 1
A.m B.n C. E Y 10 D.D Y 21
10 5
y 2 x 2 1
11.已知椭圆 2 2 1 a b 0 的离心率为 ，上下焦点分别为 F 0，1 ，F 0， 1 ，a b 2 1 2
M 为椭圆上一点（不与椭圆的顶点重合），下列说法正确的是（ ）
A. a 2
B.b 2
4
C.若 F1F2M 为直角三角形，则 sin F1MF2 5
D.若 MF1 MF2 4 ,则 MF1F2的面积为 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
2
6
2
12.在二项式 3x 的展开式中常数项是 ； x 的系数是 .
x
2
x 2 y 2
13.已知双曲线 2 2 1 a 0,b 0 ，F1，F2 为双曲线的左右焦点，过 F1作斜率为正x b
的 直 线 交 双 曲 线 左 支 于 A x1 , y1 ，B x2 , y2 y1 y2 两 点 ， 若 AF1 2a ，
ABF2 90 ，则双曲线的离心率是 .

14.已知平面向量 a,b 的夹角为 ，b a与 a的夹角为3 a 1 ， ， a和b a在b 上的
投影 x, y，则 x y sin 的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16,17 题各 15 分，第 18,19
题各 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知锐角 ABC的单个内角 A,B,C所对的边为 a,b,c， sin A B cosC .
（1）求角B的大小；
a 2 c 2
（2）求 2 的取值范围.b
16.已知三棱锥 P ABC，AB BC，BC CP，D,M ,N 分别是 AP, AB,CP的中点，
4AB 3BC 12， PB 34 3 10,二面角 P BC D的余弦值为 .
10
（1）证明： AB MN ；
（2）求直线MN 与平面BCD所成角的正弦值.
*
17.已知数列 an ， bn ， cn （ n N ）， a1 c1 1，设数列 an 的前 n项和为 Sn ，
数 列 bn 的 前 n 项 积 为 Tn ， 若 2cn an 1 ， Tn q Sn n 0 q 1 ，
nc1 n 1 c2 cn Sn .
（1）求数列 an 的通项公式；
1 *
（2）证明： 1 b1 1 b2 1 bn , n N .1 q
3
1 a
18.已知抛物线C1 : y ax
2 a 0,a 1 C 2，抛物线 2：y x b b R .C1的4a
焦点为 F1，C2 的焦点为 F2 ，C1与C2 交于 A,B两点.
（1）证明：直线 AB是 F1F2的中垂线；
（2）当 a 2时，求 AF2B的正切值（用b表示）.
2 a
19.已知 a,b R，函数 f x ln x bx 2, x 0 .
x
（1）若 a b 1，求 f x 的单调区间；
（2）若函数 f x 有零点和极值点且极值点个数大于零点个数，求 a的取值范围；
（3）若 f x 有 3个极值点 s1 , s2 , s3（ s1 s2 s3）.证明：对一切 i 1,2,3 都有
f s 16 a 1
2
i 3 .a 2 7a 12
2
注： ln x ln x ln x .
4
参考答案
一、选择题
1.A 解析：∵ A x x 1或x 7 ， B y 2 y 8 ，∴ A B x 7 x 8
z 1 i 1 i 2 3i 5 1 5 12.B 解析：∵ i，∴ z i .
2 3i 2 3i 2 3i 13 13 13 13
1 2 2
3.C 解析：根据圆台的体积公式：V h R r Rr ，将对应数据代入可得
3
V 1 3 22 52 2 5 39 117 .
3 3
x 1 2 y 24.D 解析：圆 1的圆心坐标为 1,0 ，半径为 1，
a 1
∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即 1，
a 2 b 2
2
化简得 a 2a 1 a 2 b 2，可知b 2 2a 1.
5.D 解析：根据题意， x1 x2 x3，
由 x x1 x x2 x x3 2，不能推出 x x1 x x2 x x3 0，
例如： x 0, x 1 2 5 1 , x2 , x3 满足 x x1 x x2 x x3 2，2 3 6
当 x x1 x x2 x x3
5
0，故充分性不成立；
18
由 x x1 x x2 x x3 0，得 x x1或x x2或x x3 ，
不能推出 x x1 x x2 x x3 2，
例如 x x1 1， x2 2， x3 3，满足 x x1 x x2 x x3 0，
但 x x1 x x2 x x3 3 2，故必要性不成立.
∴是既不充分也不必要条件.
6.C 解析：当 0 x 0 x 时，由 ， ，得 , ，
2 3 3 2 3
5 7
由函数 f x 的图象在 0， 上三条对称轴，得 ，
2 2 2 3 2
5
f x 0 7 由函数 在 ， 上有两个极小值点，得 11 ，显然无解；
2 2 2 3 2
当 0 x 0 x 时，由 ， ，得 ,

，
2 3 3 2 3
7 5 2 2 3 2 23 17则 ，解得 .
9

5 3 3

2 2 3 2
S *
7.D 解析：依题意，由 a nn 1 n N ， an不等于 0，a1 0，可得：an
a S当 n 1时， 12 1，a1
Sn anan 1 an 1an 2 Sn 1 an 1 Sn an anan 1 an 2 an 1，
对于 A， a3 a1 1， a4 a2 1 2， a5 a3 1 a1 2， a6 a4 1 3，
则 a3a4 2a1 2，a5a6 3a1 6，
∵数列的每一项都不等于 0， a1 0， a1不是整数，∴ a3a4和a5a6 不可能同时为整数；
对于 B， a7 a5 1 a1 3，则 a4a5 2a1 4， a6a7 3a1 9，
∵数列的每一项都不等于 0， a1 0， a1不是整数，∴ a4a5和a6a7不可能同时为整数；
对于 C， a10 a8 1 a6 2 5， a11 a9 1 a7 2 a1 5，
则 a5a6 3a1 6， a10a11 5a1 25，
∵数列的每一项都不等于 0，a1 0，a1不是整数，∴ a5a6和a10a11不可能同时为整数；
对于 D， a12 a2 5 6，则 a6a7 3a1 9， a11a12 6a1 30，
当3a1为负整数时， a6a7和a11a12可以同时取整数.
1 25 10 6 5
8.A 解析：令 a 5 2 6，b ，c 2，此时直接计算得 B ，，5，,20 ，2 2 4
而bc c 5，集合 B中最大元素为 20,故 D 错误；
b
6
33 2由于 3 3 3 1 4 0 3 2， 4 3 4 4 4 11 0，
3 2
故关于 x的方程 x 3x x 1 0在 3,4 上存在一根 x t，且
1 t 1 1 1 1 1 1 1 2 t 1 ， t t 1 t t t .
2 t 2 t 2 t 2 2
1 1
考虑 a 1，b t ， c t，
2 t
ab b 2b t 1 c 1 a此时 ac ，且
a t c c
bc b b t 1
2
1 1 t4t 2t
2 1 t 1 t3 3t2 t 1 4t3 c
2t 2c ac ，
c t 2 t 2t2 2t2 2t2 a
a b a c b c
故 ab ab ac ac bc bc ，
b a c a c b
a a c c
从而 B ab ,ac ,ac ,bc .
b c a b


a
再根据 ab ac a c c ac bc ，知选项 B，C错误.
b c a b
a
最后，假设 B的最小元素不等于 ab ：
b
c b a 0 ab a ab b c由于 ，故有 ac ， ac a bc b bc c ，
b a a c c b
ab a bc c ac a ac c且 ， .
b b c a
a
据假设，集合 B 的最小元素不等于 ab ，
b
a a a
∴B的最小元素只能是 ac ，同时必有 ab ac .
c b c
a a
由于集合 B 恰有 4个元素，且 ab ac .
b c
ab a bc b ab a bc b b c b c
故只可能有 或b c
.

ab bc

ac
c bc c
a b a b
a b a b 1 1 b c ab bc b c b c
若 ，则 ，
ab b c

bc
b a 1 c b
1

a b

a b
7
a a 1 c 1 2 2两式相乘即得 c ，从而 a 1 c 1，得 a c，矛盾；
a c
ab a b bc a ab bc
b

b c b c
若 ，则c c
.

ac bc
a 1 1 b
a b a b
1 1 1
由 a b ，0 a b，可得 a ，
a b b
ab a b 1 b 1 1 1代入 bc 得1 2 bc ，从而 c .b c b c b b3 c
b 2 ab 1由 b 1可得b 1，
b
故 2 1 1 1 1 1 1 3 c 2 c 2，矛盾.b b c c
a
综上，假设不成立，∴B 的最小元素一定等于 ab .
b
二、选择题

9.BCD 解析：选项 A，∵ sin sin sin 1 sin1， sin sin sin1，
2 2
可知 y sin sin x 不是偶函数，故 A 错误；
对于 B，∵ cos sin x cos sin x cos sin x ，
∴函数 y cos sin x 是偶函数，故 B正确；
对于 C，∵ cos cos x cos cos x ，∴ y cos cos x 是偶函数，故 C 正确.
对于 D，∵ sin cos x sin cos x ，∴ y sin cos x 是偶函数，故 D正确.
1 1 3 2
10.AC 解析：由m n 1可得：m n ①，
10 5 10 5
又∵ E Y E 3X 1 3E X 1 10，故 C 正确；
E X m 2 1 3 1 3 7∴ 4n 5 3，即m 4n ②
10 5 10 10
3 1
∴由①②可得：m ,n ，故 A正确，B错误；
10 10
D X 1 3 2 3 1 2 3 2 3 1 3 2 4 3 2 1 5 3 2 3
10 10 5 10 10
8
4 3 1 1 1 1 3 13 4 ，
10 10 10 10 5
D Y D 3X 1 9D X 13 117 9 ，故 D 错误.
5 5
1 2 2
11.AC 解析：对于 AB，椭圆半焦距 c 1，由离心率为 ，得 a 2，得b a c 3，
2
A 正确，B 错误；
对于 C，由 c b知，以线段 F1F2为直径的圆在椭圆内，即 F1MF2 不可能是直角，
由 F1F2M 为直角三角形，得 F1F2M 90 或 F2F1M 90 ，
由椭圆对称性不妨令 F2F1M 90 ，则MF1：y 1，
y 1

由 y 2 x 2 ，得 x
3 MF 3 5 ，即
12 2 1
，则 MF2 2a MF1 ，
2 2 3 4
F F
∴ sin F MF 1 2 41 2 ，故 C正确；MF2 5
对于 D，由椭圆定义得 MF1 MF2 2a 4，而 MF1 MF2 4，
解得 MF1 MF2 2，
而 F1F2 2，则 MF F
3
1 2是边长为 2的正三角形，其面积为 2
2 3，故 D 错误.
4
三、填空题
2 6
12.4320；4860 解析：由题意，二项式 3x 的展开式的通项为：
x
T C k 3x 6 k 2
k

k 1 6 C
k 36 k x 6 k 2k x k6 3
6 k2kC k x 6 2k6 ，
x
令6 2k 0，得 k 3，
6 3 3 3
∴二项式的展开式中常数项为：3 2 C6 27 8 20 4320；
令6 2k 2，得 k 2，
2 6 2 2 2
∴二项式的展开式中 x 的系数为：3 2 C6 81 4 15 4860 .
13. 5 2 2 解析：∵ AF1 2a，则 AF2 AF1 2a 4a，
9
AB AF1 BF1 BF1 2a BF2 ，
且 ABF2 90 ，可知 ABF2为等腰直角三角形，
则 AB BF2 2 2a，
BF1 AB BF1 2 2a 2a 2 2 1 a，
BF 2 BF 2 F F 2 4 2 1 a 2 8a 2 4c 2且 1 2 1 2 ，即 ，
c 2 c c 2
整理可得
a 2
5 2 2，∴双曲线的离心率 e 2 5 2 2 .a a
3 1 2
14. ， 解析：∵平面向量 a,b 的夹角为 ，b a与 a的夹角为3 ，
4 2

b a a


∴b a与b 的夹角为 2 ，∴根据正弦定理可得 ， a 1，
sin sin 2

b a a 1 1
∴ ，∴ b a ，
sin sin 2 2sin cos 2cos
0

∵ 0 2

0 ，∴ ，∴ a在b 上的投影为 x a cos cos ，
3
0 3
b a b y b a cos 2 cos 2 在 上的投影为 ，
2cos
cos 2 1 1 2
∴ x y sin cos sin cos 2 sin 2 sin 2 ，
2cos 2 2 2 4
0 0 2 2 11 ∵ ，∴ ，∴ 2 ，
3 3 4 4 12
∴当 2 11 时， x y sin 取得最小值，
4 12
2
且最小值为 sin 11 2 2 sin cos 2 cos 2 sin 3 1 ，
2 12 2 3 4 2 3 4 4
2 2当 时， x y sin 取得最大值，且最大值为 ，
4 2 2
∴ x y sin 3 1 2 的取值范围 ，4 2 .
10
四、解答题
15.解：（1）在锐角 ABC中， sin A B cosC 0，
0 A B 则 ，sin A B sin C ，于是 A B C，即 A C B ，
2 2 2 2
而 A C B ，则 2B ，∴B .
2 4

3 0 A


2
（2）由（1）知，C A，由 ，得 A ，4 0 C 4 2
2
由正弦定理得
a 2 c 2 sin 2 A sin 2 C
2 2
b 2 sin 2
2sin A 2sin C 1 cos 2A 1 cos 2C
B
2 2cos 2A cos 3 2A 2 sin 2A cos 2A 2 2 sin 2A ，
2 4
2A 3 2而 ，∴ sin 2A

1，
4 4 4 2 4
2 2
∴3 2 2 sin 2A

2 2
a c
，∴ 2 的取值范围是 3，2 2 . 4 b
16.解：（1）证明：取BC中点 F ， AC中点Q，
连接DQ,QF ,DF ,MQ，则 AB∥FQ，PC∥DQ，
∵ AB BC， BC CP，
∴ FQ BC，DQ BC，
又∵ FQ DQ Q，FQ，DQ 平面DFQ，
∴ BC 平面DFQ，又∵DF 平面DFQ，
∴ BC DF ，即DF是 BC的中垂线，∴ BD CD，
取 BP中点W ，连接MW，NW，WQ，∴BC FW ，
∴ WFD就是二面角 P BC D的平面角，余弦定理可得
在 WDF 中，由余弦定理可得：
11
cos WFD WF
2 DF 2 DW 2 3 10
，
2WF DF 10
根据题意和线段的中点可知， AB 3，BC 4，AC AB 2 BC 2 5，
PC PB 2 BC 2 3 2 ，QF DW 3 ，DQ WF 1 PC 3 2 ,
2 2 2
DW 1 AB 3 ,
2 2
DF 3 5 3 5代入解得 或DF ，
2 10
在 WDF 3中， 2 1 DF 3 2 1 3 5,∴DF （舍）.
2 2 10
2
DF 3 5 BD CD DF 2 1 BC 61当 时， ， AP 5，
2 2 2
AB 2 2∴ AP BP 2 ，故 AB AP，得 AB MW ，
连接MN，∵ AB BC，∴ AB MQ，
MW，MQ是平面MNW 内两条相交直线，∴ AB 平面MNW ，
∵MN 平面MNW ，∴ AB MN .
（2）连接BQ并延长至O，且有 BO 2BQ，
连接 PQ，OA，OC，
由（1）知 AB WQ，WQ BC ，
AB，BC是平面 ABC内两条相交直线，
∴WQ 平面 ABC，
又∵WQ是 BPQ的中位线，∴ PQ 2WQ， PO 平面 ABC，
计算得OB 2BQ 5，OP PB 2 OB 2 3，OC 3，OA 4，
以 B为原点，射线 BC方向为 x轴，射线 BA方向为 y轴，建立如图所示空间直角坐标系
B xyz，
12
则B 0，0，0 ，A 0，3，0 ，C 4，0，0 ，O 4 3 ，，0 ，P 4，3，3 ，D 2 3 3 3 3 ，3， ，M 0， ,0 ，N 4， ,
2 2 2 2
BC 4 0 3 3 ∴ ，，0 ， BD 2，3， ，MN 4,0， ，
2 2
设平面 BCD 的法向量为 n x, y, z ，

n

BC 4x 0

则 ，令 y 1，可取 n 0,1, 2 ，
n BD 2x 3y
3
z 0
2
3
∵ n MN 4 0 0 1 2 3 ，n 1 4 5 MN 16 9 73 ， ，
2 4 2
n cos n ,MN MN 3 6 365∴
n
，
MN 5 73
365

2

设直线MN 与平面 BCD所成角为 ，∵ 0

， ，∴ sin cos n,MN
6 365
.
2 365
直线MN与平面 BCD 6 365所成角的正弦值为 .
365
17.解：（1）∵ nc1 n 1 c2 cn Sn ，则 n 1 c1 nc2 2cn cn 1 Sn 1，
两式相减可得 c1 c2 cn cn 1 an 1，即 2c1 2c2 2cn 2cn 1 2an 1，
又∵ 2cn an 1，则 a1 1 a2 1 an 1 an 1 1 2an 1，
整理可得 Sn 1 n 1 2an 1，则 Sn n 2an ,
两式相减可得 an 1 1 2an 1 2an，则 an 1 1 2 an 1 ，且 a1 1 2，
可知数列 an 1 是以首项为 2，公比为 2 的等比数列，
则 an 1 2 2
n 1 2n a 2n，∴ n 1.
2 1 2n n 1
（2）由（1）可得 Sn n 2 n 2，1 2
n
∴Tn q
Sn n q 2 1 0 q 1 ，
13
若 n 1，则b1 T1 q；
T q 2
n 1
n 1
若 n 2 2，则bn
n q ；
T q 2
n 1 1
n 1
b n q 2
n 1
综上所述： .
又∵ 1 b1 1 b2 1 bn 1 q 1 q 2 n 11 q 2
2 2n 1 2 2 2n 11 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q

1 q 1 q
1 q 4 4 2n 1 n1 q 1 q 1 q 2
，
1 q 1 q
2n
又∵0 q 1，则 0 q 1，
∴ 1 b1 1 b2 1
1
bn .1 q
1 a 1 1 a
18.解：（1）抛物线C1 : y ax
2 2化简为 x y ，
4a a 4a
F 0, 1 1 a则焦点 1

，即 F 1 0,
2 a
，
4a 4a 4a
2 1
抛物线C2：y x b 的焦点 F2 b, .
4
F F b 1 则 1 2的中点坐标为G , ，
2 4a
联立抛物线方程C1和C2 得： a 1 x 2
1 a
2bx b 2 0，且 a 1，
4a
设 A x1 , y1 ，B x2 , y2 ，
1 a 2
x 2b
b 1 b 2
∴ 1 x2 ， x
4a
a 1 1
x2 ，a 1 4a a 1
2 a 1

k 4a 4 a 1又∵ AB ，0 b 2ab
∴ k AB kF F 1，∴ AB F1 2 1F2 .
14
又∵ y y ax 2 1 a ax 2 1 a a x 2 x 2 1 a1 2 1 4a 2 4a 1 2 2a
a x x 2 2x x 1 a 2b
2
1 b 2 1 a 1 2 1 2 a 2 2a a 1 4a a 1

2a
2ab 2 a 1 1
，
a 1 2 2a
x1 x2 y1 y2
2
AB D , b ab a 1 1 ∴ 的中点坐标为 , ，
2 2 2 a 1 a 1 4a
ab 2 a 1 1 1

k a 1
2 4a 4a 2ab
∴ DG ，∴ k k ，b b a 1 DG AB
a 1 2
∴直线 AB是 F1F2的中垂线.
（2）当 a 2 2 1时，抛物线C1 : y 2x 的焦点 F8 1
0,0 ，
如图所示，
C y x b 2 F b, 1 抛物线 2： 的焦点 2 .
4
则直线 F1F2的方程为： x 4by 0，
2
F G F G 1 1 F F b 2 1 16b 1则 1 2 2 1 2
，
2 16 8
1 2
由（1）得 x1 x2 2b， x1x2 b ， k 4b，8 AB
AB AG BG x2 x1 2 y 2 2 22 y1 1 k AB x1 x2 4x1x2
1 16b 2 1
1 16b 2 4b 2 4 b 2 ，
8 2
AG BG x 2 21 xG y1 yG x2 x 2G y 22 yG
1 k 2AB x1 xG 1 k
2
AB x2 xG 1 k 2AB x1 xG x2 xG
2 1 16b 2 x1x2 x x x 2 21 2 G xG 1 16b 1 b b b 2 2b
8 2 4


15
2 2 2
1 16b 2 b 1 1 16b 2b 1 ，
4 8 8
则 tan AF2B tan AF2G BF2G
tan AF2G tan BF2G
1 tan AF2G tan BF2G
AG BG

F2G F2G F2G AG BG F2G AB
AG BG 2
1 F2G AG BG F G
2
2 AG BG
F2G F2G
16b 2 1 16b 2 1

8 2 4 32b 2 2 2 2 ，

16b
2 1 16b 2 1 2b 2 1 16b 7
8

8
当16b 2 7 7 0，即b 时， AF BF .
4 2 2
b 7 tan AF B 4 32b
2 2
当 时，
4 2
.
16b 2 7
16