2024-2025学年黑龙江省“龙东联盟”高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省“龙东联盟”高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点，且一个方向向量为的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知点，直线，则过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
4.在坐标平面内，与点的距离为，且与点的距离为的直线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
5.已知圆与圆相交于，两点，且，则实数( )
A. 或 B. C. D.
6.已知，，且，则的 概率为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，平面，，，，，分别为棱，，的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷出的点数之和是”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. 与独立 D. 与独立
10.已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 当点的坐标为时，直线经过点
D. 当直线的方程为时，点的坐标为
11.设直线系其中，，均为参数，，，，则( )
A. 不存在，，使直线系中所有直线恒过定点
B. 当时，存在一个圆与直线系中所有直线都相切
C. 当时，坐标原点到直线系中所有直线的距离最大值为，最小值为
D. 当，时，若存在点，使其到直线系中所有直线的距离不大于，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线平行，则实数的值为 ．
13.若圆上有且只有两个不同的点到直线的距离等于，则的取值范围是 ．
14.已知过点且斜率为的直线与圆相交于，两点，则的值等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，现在约定乙先投．
求投篮结束时，甲、乙各只投个球的概率；
求投篮结束时，甲只投了个球的概率；
求乙获胜的概率；
16.本小题分
瑞士数学家欧拉在所著的三角形的几何学一书中证明了“任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上”这一结论，后人称这条直线为三角形的欧拉线．在中，已知，，且欧拉线的方程为．
求外心坐标；
求重心的坐标；
求垂心的坐标．
17.本小题分
已知圆，动圆的圆心在轴上，且与圆外切，圆与轴交于，两点，点的坐标为．
当点在轴上运动时，求的最小值；
是否存在轴上的定点，使得点在轴上运动时，是定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在正四棱锥中，，且．
求正四棱锥的体积；
若为侧棱上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值；
若点是侧棱包含端点上的一个动点，当直线与平面所成角最大时，求的值．
19.本小题分
已知点，的坐标分别为和，动点满足到点的距离是它到点的距离的倍，动点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点分别为，点．点是直线上的一个动点，直线，分别与曲线相交于，两点均与，不重合．
若是等腰三角形，求点的坐标；
求证：直线过定点，并求出定点坐标；
求四边形面积的最大值．
参考答案
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设分别表示乙、甲在第次投篮投中．
则，，，
所求的概率为．
所求的概率为
．
所求的概率为
．

16.
因为，所以线段垂直平分线的斜率为，
又因为的中点坐标为，
所以垂直平分线方程为，即，
因为外心既在的垂直平分线上，又在欧拉线上，
所以解方程组，得，所以外心的坐标为．
设，则，
因为重心在欧拉线上，
所以，即，
因为，所以，
所以解方程组，得或
当，时，点与点重合，不满足题意，所以点的坐标为，
所以重心的坐标为．
垂心在边上的高所在直线上，
由可知，，又，故边所在直线垂直于轴，
所以边上的高所在直线方程为，
解方程组，得
所以垂心的坐标为．

17.
设圆的圆心，半径为，
因为圆与圆外切，所以，所以
因为，所以，即，
不妨设点，，
若，则，此时，
若，，此时，
所以，
因为，所以当时，取最小值．
设，
同理可得，
若存在定点，当圆在轴上运动时，是定值，
所以，即．
所以存在定点，当圆在轴上运动时，是定值．

18.
设和相交于点，取的中点为，连接，
因为，故的夹角即为的夹角，
故，
所以，所以，
所以正四棱锥的体积．
以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为在上，且平面，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
因为点是侧棱包含端点上的一个动点，则，
设，由，得，
所以
因为点在上，所以平面的法向量就是平面的法向量，
设平面的一个法向量为，，
因为，且，所以，可以取，
设直线与平面所成角为，
则，
因为，所以当时，取得最大值，
此时直线与平面所成角最大，所以，所以的值等于．

19.
设点，由，得，
整理得曲线的轨迹方程为，由对称性不妨令，
设点，若是等腰三角形，则，解得，
所以点的坐标为或．
由知，，则直线的斜率，直线的斜率，有，
而，则直线的斜率，即，
设直线，代入得：，
设，则，，
因为，
整理得，
则，而，解得，
所以直线恒过定点．
由得，，
则，
令，则，
而，则当时，取得最大值，此时，
所以当直线方程为时，四边形面积的最大值为．

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