登陆21世纪教育 助您教考全无忧
《三角函数的应用》教案
教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．
（二）能力训练要求
发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．
（三）情感与价值观要求
1．在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气．
2．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望．
教学重点
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．
2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力．
教学难点
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．
教学过程
（一）复习旧知，引入新课
1．一物体沿坡度为1∶8的山坡向上移动，则物体升高了 m．
答案：1
2．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a m，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为 m．www.21-cn-jy.com
答案： a
3．如图所示，在高2 m，坡角为30°的楼梯
表面铺地毯，地毯的长度至少需要 m．
答案：
4．创设问题，引入新课
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗 ( http: / / www.21cnjy.com )礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．21*cnjy*com
（二）讲授新课
1．思路点拔
（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？
应该是“上北下南，左西右东”．
（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的．
首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下．21世纪教育网版权所有
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货 ( http: / / www.21cnjy.com )轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．www-2-1-cnjy-com
（4）下面我们就来看AD如何求．根据题意，有哪些已知条件呢？
已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°．
（5）在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．你能在哪一个三角形中求出AD呢？
在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．
在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD． 21*cnjy*com
（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？
这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边 ( http: / / www.21cnjy.com )．而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC=BD-CD．BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系．
（7）有何联系呢？
在Rt△ABD中， ，；在Rt△ACD中，， ．
利用BC=BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20．
总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一．
解：过A作BC的垂线，交BC于点D得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而
BD=ADtan55°，CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里．得
ADtan55°-ADtan25°=20．
AD（tan55°-tan25°）=20，
（海里）．
这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．
2．小组合作，探索问题
（1）想一想你会更聪明：
接下来，我们再来研究一个问题．还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．2·1·c·n·j·y
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，小明想测量塔CD的高 ( http: / / www.21cnjy.com )度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）
（2）思路点拔：
①我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角？
当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指
∠DAC，60°的仰角指∠DBC．
②很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答．
首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在
Rt△ADC中， ，
即，在Rt△BDC中， ，
即，又∵AB=AC-BC=50 m，得
．
解得CD≈43（m），
即塔CD的高度约为43 m．
③提出质疑，再探新知：
小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时是否应考虑小明的身高？
在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．
④如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？21教育网
示意图如图所示，由前面的
( http: / / www.21cnjy.com )
解答过程可知CC′≈43 m，则CD=43+1.6=44.6 m．即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m．21cnjy.com
3．巩固新知、解决问题：
现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．
( http: / / www.21cnjy.com )
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾 ( http: / / www.21cnjy.com )角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.0l m）
请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，（先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法）21·世纪*教育网
（1）思路点拔
( http: / / www.21cnjy.com )
要注意调整前后梯楼的高度是一个不变 ( http: / / www.21cnjy.com )量．根据题意可画㈩示意图（如右图）．其中AB表示楼梯的高度．AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度．∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角．转化为数学问题即为：21·cn·jy·com
如图，AB⊥DB，∠ACB=40°， ∠ADB=35°， AC=4m．求AD-AC及DC的长度．
（2）解决问题
解：由条件可知，在Rt△ABC中， ，即AB=4sin40°m，原楼梯占地
长BC=4cos40°m．
调整后，在Rt△ADB中， ， 则m．楼梯占地长 m．
∴调整后楼梯加长 （m），
楼梯比原来多占 （m）．
（三）随堂练习
1．如图，一灯柱AB被一钢缆CD固 ( http: / / www.21cnjy.com )定，CD与地面成40°夹角，且DB=5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m， ，BC=DBsin40°=5sin40°（m）．2-1-c-n-j-y
在Rt△EDB中，DB=5 m，
BE=BC+EC=2+5sin40°（m）．
根据勾股定理，得（m）．
所以钢缆ED的长度为7.96 m．
2．如图，水库大坝的截面是梯形ABCD，坝顶AD=6 m，坡长CD=8 m．坡底BC=30 m，∠ADC=135°．【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）求∠ABC的大小；
（2）如果坝长100 m．那么建筑这个大坝共需多少土石料？（结果精确到0.01 m3）
解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足．
（1）在梯形ABCD中．∠ADC=135°，
∴∠FDC=45°，EF=AD=6 m．在Rt△FDC中，DC=8 m．DF=FC=CD．
（m）．
∴ （m）．
在Rt△AEB中， （m）．
．
∴∠ABC≈17°8′21″．
（2）梯形ABCD的面积：
（m2）．
坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料 （m3）．
综上所述，∠ABC=17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料．
（四）活动与探究，拓展知识
例题：如图，某货船以20海里/时的速度将一批 ( http: / / www.21cnjy.com )重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响．【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？
[过程]这是一道需借助三角知识解决的应用问题，需抓住问题的本质特征．在转化、抽象成数学问题上下功夫．【版权所有：21教育】
[结果]（1）过点B作BD⊥AC．垂足为D．
依题意，得∠BAC=30°，在Rt△ABD中， ，
∴B处会受到台风影响．
（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得
DE=120，．
．
∴ （小时）．
因此，该船应在3.8小时内卸完货物．
（五）课时小结
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．
其实，我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴．请同学们阅读“读一读”，了解“三角学”的发展，相信你会对“三角学”更感兴趣．21教育名师原创作品
习题1.6第1、2、3题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 8 页 （共 9 页） 版权所有@21世纪教育网(共24张PPT)
北师大版九年级数学(下)
船有触礁的危险吗
1、 一物体沿坡度为 的山坡向上移动 m ,则物体升高了 m ．
2、 在地面上一点,测得一电视塔尖的仰角为 , 沿水平方向,再向塔底前进am ,又测得塔尖的仰角为 ,那么电视塔的高为
3、如图所示,在高2m ,坡角为
的楼梯表面铺地毯,地毯的长度
至少需要 m ．
1
m
温故知新，引入新课
船有无触礁的危险
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
请与同伴交流你是怎么想的 怎么去做
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
A
1、思路点拔
2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图,然后说明你是怎样画出来的.
A
B
C
D
北
东
1)我们注意到题中有很多方位,在平面图形中,方位是如何规定的
应该是“上北下南,左西右东”.
首先我们可将小岛A确定,
货轮B在小岛A的南偏西
55°的B处,C在B的正东
方,且在A南偏东25°处.
示意图如右.
3）货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险,由谁来决定
根据题意,小岛四周10海里内有暗礁,那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里,则无触礁的危险,如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC,D为垂足,即AD的长度.我们需根据题意,计算出AD的长度,然后与10海里比较.
A
B
C
D
北
东
（4）下面我们就来看AD如何求.根据题意,有哪些已知条件呢
已知BC＝20海里,∠BAD＝55°
,∠CAD＝25°.
（5）在示意图中,有两个直角三
角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在
哪一个三角形中求出AD呢
A
B
C
D
北
东
在Rt△ACD中,只知道
∠CAD=25°,不能求AD.
在Rt△ABD中,知道
∠BAD=55°,虽然知道
BC＝20海里,但它不是
Rt△ABD的边,也不能求出AD.
这两个三角形有联系,AD
是它们的公共直角边.而
且BC是这两个直角三角
形BD与CD的差,即BC＝
BD-CD.BD、CD的对角
是已知的,BD、CD和边
AD都有联系.
（6）那该怎么做呢 是不是可以将它们结合起来,站在一个更高的角度考虑
A
B
C
D
北
东
在Rt△ABD中, ,
在Rt△ACD中,
利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程,即ADtan55°-ADtan25°＝20.
（7）有何联系呢
A
B
C
D
北
东
解:过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D, 根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.
D
┌
A
B
C
D
北
东
550
250
（海里）
因为，AD>10海里,所以无触礁的危险.
古塔究竟有多高
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
要解决这问题,我们仍需将其数学化.
请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
现在你能完成这个任务吗
合作探究，理解新知
这个图形与前面的图形相同,因此解答如下:
D
A
B
C
┌
50m
300
600
答:该塔约有43m高.
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600
,AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,
∠BDC=300,
楼梯加长了多少
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少 楼梯多占多长一段地面 (结果精确到0.01m).
现在你能完成这个任务吗
请与同伴交流你是怎么想的 准备怎么去做
A
B
C
D
┌
课堂练习，巩固新知
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长,(2)AD的长.
A
B
C
D
┌
4m
350
400
答:调整后的楼梯会加长约0.48m.
解:如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(2) AD的长.
A
B
C
D
┌
4m
350
400
答:楼梯多占约0.61m一段地面.
钢缆长几何
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少 (结果精确到0.01m).
E
B
C
D
2m
400
5m
课堂练习，检测新知
解:如图,根据题意可知,∠CDB=400,EC=2m,DB=5m.求DE的长.
E
B
C
D
2m
400
5m
答:钢缆ED的长度约为7.97m.
大坝中的数学计算
2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
解答问题需要有条有理
解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小;
过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.
答:坡角∠ABC约为13°.
计算需要空间想象力
解:如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).
答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.
如图，20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响
请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在
多少小时内卸完货物
(供选用数据： )
拓展延伸，升华知识
解：(1)过点B作BD⊥AC.垂足为D.
依题意，得∠BAC＝30°，在
Rt△ABD中，
∴B处会受到台风影响.
(2)以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. .
∴ (小时). 因此，该船应在3.8小时内
卸完货物.
感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题
的一般步骤:
1.将实际问题抽象为数学问题;
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形;
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”)
1、本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题,提高了我们分析和解决实际问题的能力.
2、 其实,我们这一章所学的内容属于“三角学”的范畴.请同学们阅读“读一读”,了解“三角学”的发展,相信你会对“三角学”更感兴趣.
课后小结
作业布置
P21 习题1.6 1,2,3题;
祝你成功！
