2024-2025学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

2024-2025学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的一个方向向量为，则( )
A. B. C. D.
2.已知点是点在坐标平面内的射影，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的 两点式为，则( )
A. 直线经过点 B. 直线的斜截式为
C. 直线的倾斜角为锐角 D. 直线的点斜式为
4.已知向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.空间内有三点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，为的重心，，
若交平面于点，且，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
8.在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
10.已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是( )
A. B. C. D.
11.在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的三个顶点，则边的中线所在直线的一般式为 ．
13.已知直线经过定点，则的坐标为 ．
14.在三棱锥中建立空间直角坐标系后，得到，则三棱锥的体积为 ，三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为．
若直线经过点，求的斜截式方程，并判断与是否平行；
若直线的一般式方程为，求在轴上的截距，并判断与是否垂直；
若直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的一般式．
16.本小题分
在三棱柱中，平面平面，，，，．
证明：平面；
若异面直线所成角的余弦值为，求．
17.本小题分
若直线沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率；
一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
18.本小题分
在空间几何体中，四边形，均为直角梯形，，，，．

证明：平面平面．
求直线与平面所成角的大小．
19.本小题分
在如图所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使在平面同侧，如图．
当二面角为时，判断与平面是否平行；
探究当二面角为时，平面与平面是否垂直；
在的条件下，求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
．或或

15.解：
因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，
又直线在轴上的截距为，即直线过点，
则由点斜式可得直线方程为，
化为斜截式方程得，直线的斜率，
在轴上的截距为．
所以的斜截式方程为；
由直线经过点，
则直线的斜率，则直线的方程为，
故的斜截式方程为，在轴上的截距为．
由两直线斜率相同，在轴上的截距不同，则．
由直线的一般式方程为，
化为斜截式方程为，故在轴上的截距为；
直线的斜率，由，
所以两直线与互相垂直．
由直线与平行，则斜率，故可设直线方程为，
令，得；令，得；
由直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，
则，所以，解得．
所以直线的方程为，
即的一般式方程为．

16.解：
因为平面平面，交线为，
，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又，所以平面；
取的中点，连接，因为，所以，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，
因为，所以，
故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，故，
设，则，设，
由得，
解得，故，
，
因为异面直线所成角的余弦值为，
所以，
解得，故．

17.解：由题意，直线存在斜率，可设直线方程为，
直线沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位后，
所得直线的方程为：
化简得．
因为平移后与原直线重合，则．
解得，即直线的斜率为．
由两点坐标，可得直线的斜率为，
所以入射光线所在直线方程为，即．
因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，
所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，
所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，
即．

18.解：
证明：因为，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，因为，，
所以，解得，令，得，故．
设平面的法向量为，因为，，
所以令，得．
因为，所以，所以平面平面．
【小问详解】
设直线与平面所成的角为，由知，
平面的一个法向量为，
则，
所以，
即直线与平面所成的角为．

19.解：
若二面角为，则平面平面，
因为平面平面，且，所以平面，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得，
因为，所以，
所以不与平面平行．
取的中点，连接，则，
因为，所以二面角的平面角为，即，
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，因为，
所以令，得，
设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直．
在中的坐标系中，设平面的法向量为，
因为，
所以令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

第1页，共1页