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《利用三角函数测高》教案
教学内容
本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．21*cnjy*com
教学目标
1、能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题；
2、经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力；21cnjy.com
3、通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．
教学重点、难点
设计活动方案、自制仪器的过程及学生学习品质的培养．
教具准备
自制测倾器（或经纬仪、测角仪等）、皮尺等测量工具．
教学过程
一、提出问题，引入新课
现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高 ( http: / / www.21cnjy.com )楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题．请同学们思考小明在测塔的高度时，用到了哪些仪器？有何用途？如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？【来源：21·世纪·教育·网】
活动一：设计活动方案，自制仪器
首先我们来自制一个测倾器（或测角仪、经纬仪等）．一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成．下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器．
制作测角仪时应注意什么？
支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则 ( http: / / www.21cnjy.com )测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．2-1-c-n-j-y
一个组制作测角仪，小组内总结，讨论测角仪的使用步骤）
活动二：测量倾斜角
（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的 ( http: / / www.21cnjy.com )中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．【出处：21教育名师】
它的依据是什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
如图，要测点M的仰角，我们 ( http: / / www.21cnjy.com )将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠BCA的度数．根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB=90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA=∠MCE．因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数．【版权所有：21教育】
活动三：测量底部可以到达的物体的高度．
“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．
要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）
（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．
（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l．
（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN的高度．21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com )
在Rt△MEC中，∠MCE=α，AN=EC=l，所以tanα=，即ME=tana·EC=l·tanα．
又因为NE=AC=a，所以MN=ME+EN=l·tanα+a．
活动四：测量底部不可以到达的物体的高度．
所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．例如测量一个山峰的高度．www.21-cn-jy.com
可按下面的步骤进行（如图所示）：
（1）在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE=α．
（2）在测点A与物体之间的B处安置测角仪（A、B与N都在同一条直线上），此时测得M的仰角∠MDE=β．2·1·c·n·j·y
（3）量出测角仪的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b
根据测量的AB的长度，AC、BD的高度以及∠MCE、∠MDE的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN的高度.21·世纪*教育网
在Rt△MEC中，∠MCE=α，则tanα=，EC=；
在Rt△MED中，∠MDE=β则tanβ= ，ED=；
根据CD=AB=b，且CD=EC-ED=b． 所以-=b， ME= MN=+a即为所求物体MN的高度．www-2-1-cnjy-com
二、活动与探究
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建 ( http: / / www.21cnjy.com )筑物ABCD．且建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得.从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使用的测员工具有皮尺，测倾器（即测角仪）． 21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物．设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量的 ( http: / / www.21cnjy.com )平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示．测倾器高度不计） 【来源：21cnj*y.co*m】
（2）根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG（用字母I表示）
方案1：（1）如图（a）（测四个数据） AD=m．CD=n，∠HDM=α，∠HAM=β
（2）设HG=x，HM=x-n，在Rt△HDM中，tanα=，DM=
在Rt△HAM中，tanβ=，DM=
∵AM-DM=AD，
∴-=m，
x=+n．
方案2：（1）如图（b）（测三个数据） CD=n，∠HDM=α，∠HCG=γ．
（2）设HG=x，HM=x-n，
在Rt△CHG中，tanγ=，CG=，
在Rt△HDM中，tanα=，DM=，
∵CG=DM． ∴=，x=
三、随堂练习
1、如图，湖泊中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后自C处沿BC方向行100 m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高．（精确到0.01 m，≈1.732）21世纪教育网版权所有
答案：建筑物AB的高约为86.60 m．
2、某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条航继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（ ≈1.73）
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：过C作CD⊥AB，垂足为D，可求得CD=136.5 m．
∵CD=136.5 m>120 m．
∴船继续前进没有浅滩阻碍的危险．
四、课堂总结
今天我们分组讨论并制作了测角仪，学 ( http: / / www.21cnjy.com )会使用了测角仪，并研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案．下一节课就清同学们选择我们学校周围的物体．利用我们这节课设计的方案测量它们的高度，相信同学们收获会更大．21教育网
五、归纳提炼
本节课同学们在各个小组内都能积极地投入到方案 ( http: / / www.21cnjy.com )的设计活动中，想办法．献计策，用直角三角形的边角关系的知识解释设计方案的可行之处．相信同学们在下节课的具体活动中会更加积极地参与到其中．21教育名师原创作品
六、课后作业
习题1.7 第1、2、3题 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网(共24张PPT)
义务教育教科书（北师大版）数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
1.6 利用三角函数测高
根据我们所学的数学知识，你能设计出哪些测量方案？都用到了什么知识？
想一想：
利用三角函数测高
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量
物体的高度.
活动方式:分组活动或全班交流
研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪,测角仪等),皮尺
等测量工具.
温故而知新
1、直角三角的边角关系：
b
A
B
C
a
┌
c
2、仰角、俯角：
铅垂线
仰角
俯角
水平线
视线
视线
0
30
30
60
60
90
90
P
Q
度盘
铅锤
支杆
活动一:
测量倾斜角（仰角或俯角）.
测量倾斜角可以用测倾器,简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图).
讲授新课
30°
0°
60°
90°
90°
60°
30°
30°
0°
60°
90°
90°
60°
30°
水平线
活动一：测量倾斜角.
使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:
1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线、铅锤线和度盘的0°刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.
2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅锤线所指的度数.
M
议一议
活动一:测量倾斜角.
根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗？说说你的理由.
1
2
3
4
30°
0°
60°
90°
90°
60°
30°
水平线
哈哈:同角的余角相等
M
活动二:
所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.
如图,要测量物体MN的高度,需测量哪些数据？
1.在测点A处安置测倾器,
测得M的仰角∠MCE=α.
2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L.
3.量出测倾器的高度AC=a
C
A
E
N
M
a
L
α
可按下列步骤进行:
测量底部可以到达的物体的高度.
a
C
A
E
N
M
L
α
根据刚才测量的数据,你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.
和同伴交流一下，你发现了什么？
在Rt△MCE中，
ME=EC tanα=AN tanα=L tanα
MN=ME+EN=ME+AC=L tanα+a
MN=Ltanα+ a
L=20.06m
L=19.97m
L=20.15m
AN的长L
a=1.22m
a=1.21 m
a=1.23m
测倾器高a
α=30°2 ′
α=19°49 ′
α=30°15′
倾斜角α
平均值
第二次
第一次
测量项目
测量学校旗杆MN的高度(底部可以到达)
a
测
量
示
意
图
测
得
数
据
计
算
过
程
活
动
感
受
C
a
A
N
E
M
α
L
在Rt△MCE中，ME = ECtanα=ANtanα=20.6×tan30°2′≈
20.6×0.578=11.60m,MN=ME+EN=ME+AC=11.60+1.22
=12.82m
所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离.（如图）
要测量物体MN的高度,使用侧倾器测一次仰角够吗？为什么？
a
α
E
C
A
N
M
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
要测量物体MN的高度,测一次仰角是不够的.
a
b
α
E
C
A
D
B
β
N
M
还需哪些条件，测量哪些数据呢？
活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.
a
b
α
E
C
A
D
B
β
N
M
如图,要测量物体MN的高度,可以按下列步骤进行:
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.
根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.
根据测量数据,物体MN的高度计算过程：
a
b
α
E
C
A
D
B
β
N
M
在Rt△MDE中，
ED=
在Rt△MCE中，
EC =
EC-ED= － =b
课题 在平面上测量某大厦的高AB 测量示意图 测得数据 测量项目 ∠α ∠β CD的长
第一次 30° 16′ 44° 35′ 60.11m
第二次 29° 44′ 45° 25′ 59.89m
平均值
下表是小明所填实习报告的部分内容：
C
E
D
F
A
G
B
α
β
学以致用:
加油，你是最棒的！
1.请根据小明测得的数据,填写表中的空格;
2.已知测倾器的高CE=DF=1m，通过计算求得，该大厦的高为______m (精确到1m).
答：30°， 45°， 60m
解：在Rt△AEG中，
EG= =1.732AG
在Rt△AFG中，FG=
EG-FG=C D
1.732AG-AG=60
AG=60÷0.732≈81.96
AB=AG+1≈83（m）
做一做
相信你能行！
大家要认真思考吆
与同伴交流一下，谈谈你的想法？
（1）到目前为止，你有哪些测量物体高度的方法？
（2）如果一个物体的高度已知或容易测量，那么如何测量某测点到该物体的水平距离？
议一议
相信你能行！
活动与探究:
如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD.且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得。从A、D、C三点可看到塔顶端H.可供使用的测员工具有皮尺，测倾器(即测角仪).
(1)请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下：
①测量数据尽可能少；
②在所给图形上，画出你设计的测量的平面图，并将应测数据标记在图形上(如果测A、D间距离，用m表示；如果测D、C间距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ等表示.测倾器高度不计)
(2)根据你测量的数据，计算塔顶到地面的高度HG(用字母I表示)
方案一
（1）如图（a）（测四个数据）
AD＝m.CD＝n，∠HDM＝α,∠HAM＝β
（2）设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△HDM中，tanα = ,DM=
在Rt△HAM中，tanβ= ,DM=
∵AM-DM＝AD，
∴ - =m,
x= +n.
方案二
（1）如图（b）（测三个数据）
CD＝n，∠HDM＝α，∠HCG＝γ.
（2）设HG＝x，HM＝x-n，
在Rt△CHG中，tanγ= ,CG= ,
在Rt△HDM中，tanα = ,DM= ,
∵CG＝DM.
∴ = ，x=
如图，湖泊中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后自C处沿BC方向行100 m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高.(精确到0.01 m ，≈1.732)
答案：建筑物AB的高约为86.60 m.
随堂练习
课堂总结
1、学会使用了测角仪
2、研讨了测量可到达底部和不可以到达底部的物体高度的方案.
作业布置
习题1.7 第1、2、3题 .
