2024年人教版八年级上册数学期中测试题（11-13单元）（含解析）

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2024年人教版八年级上册数学期中测试题（11-13单元）
一、单选题(每题3分，共30分)
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图四个图形中，线段是中边上的高的图形是（　　）
A． B．C． D．
3．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，点E，F在上，．要使，需要添加下列选项中的（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连结．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
7．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
8．将三张三角形纸片拼成如图所示的形状，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，将长方形沿折叠，交于点M，已知与度数之比为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，且C，D，E三点在同一条直线上，连接以下四个结论中：①；②；③；④ ．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每题3分，共30分)
11．如图，在三角形中，，，则 °．
12．将一把直尺和一块含和的三角板按如图所示的位置放置，若，那么的度数为 ．
13．如图，每个小方格的边长均为1，则+= ．
14．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ．
15．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，C，D，E五点均在格点上，则的度数为 ．
16．如图，在中，是的平分线，于E，于F，且，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的个数有 个．
17．如图，在中，为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为 ．
18．中，为上一点，为上一点，过作，交于点，交于点，，，则 ．
19．如图，，是内的一个定点，，，分别是，上的动点，连接，，，则周长的最小值为 ．
20．如图所示，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．则＝ °
三、解答题(共60分)
21．如图，在中（），是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为37，，且与的周长差为3，求的长．
22．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，为格点三角形（顶点在网格线的交点上）．
(1)把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到，画出；
(2)写出一种平移方法，使得完全落在第四象限；
(3)求出的面积．
23．一个多边形的一部分如图所示，它的每个内角都相等，并且每个外角都等于它相邻内角的．
(1)求这个多边形的边数及内角和；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
24．已知，中，，，一条直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，请直接写出，，之间的数量关系 ；
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．
25．如图，点在上，与交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的角度．
26．如图，与均为等腰直角三角形，连接，相交于点H．
(1)求证：与全等；
(2)请说明线段和线段的关系．
27．如图1，在中，，为射线上（不与、重合）一动点在的右侧射线的上方作，使得，，连接．
(1)证明：；
(2)延长交的延长线于点，若，
①利用（1）中的结论求出的度数；
②当是等腰三角形时，______；
(3)当在线段上时，若线段，面积为6，则四边形周长的最小值是______．
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D A A C B B D
1．B
【详解】解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
2．A
【详解】解：根据题意，
该图中线段是中边上的高，
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度结合每个选项中的条件求出中最大的内角的度数即可得到答案．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴该三角形不是直角三角形，符合题意；
B、∵，，
∴，
∴，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴该三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：A．
4．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，
A. 添加，不能判定，不符合题意；
B. 添加，不能判定，不符合题意；
C. 添加，不能判定，不符合题意；
D. 添加，根据能判定，符合题意；
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，即可求解．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：A
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积公式，过点作，交于点，由得到，再根据三角形面积公式求出，，即可得出结论，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解．
此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数．
【详解】解：若是顶角的外角，则顶角；
若是底角的外角，则底角，
那么顶角．
故它的顶角是或．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等得到，，进而得到，得到，由，得到，进而得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
9．B
【分析】设，则，证明，由对折可得：，可得，结合三角形的内角和定理可得：，再解方程可得答案．
【详解】解：∵与度数之比为，
∴设，则，
∵长方形，
∴，，
∴，
由对折可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B
【点睛】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，一元次方程的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键．
10．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④延长交于F， 证明，推出，再证明，即可．
【详解】解：①∵，
∴，即，
∵在和中，，
∴，
∴，故①正确；
②∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∴，
则，故③正确；
④如图，延长交于F，
∴.， ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
11．
【分析】本题考查了三角形内角和为，根据三角形内角和为，即可列式作答．
【详解】解：∵在三角形中，，，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查平行线的性质，含角的三角板中的角度计算，三角形内角和定理．由题意可确定，，再根据平行线的性质得，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：根据题意得：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据证明，根据，得出，
即可求出结果．
【详解】解：如图，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查坐标与图形，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，过点和分别作于，于，证明，由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形．
【详解】解：过点和分别作于，于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，准确识别图形，找出证明全等所需的条件是解题关键． 由图可知：，证明，得，进而得出结果．
【详解】解：由图可知：，
，
，
，
故答案为：．
16．4
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由垂线的定义得到，则可证明，得到，据此可判断①②；再证明，得到，据此可判断③；接着证明，得到，再由平角的定义即可判断④．
【详解】解：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有①②③④，
故答案为：4．
17．4
【分析】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键；根据角平分线的性质可得然后根据三角形面积公式可得答案；
【详解】解： 为的角平分线，，
故答案为：4；
18．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，难度较大，难点在于添加辅助线构造全等三角形．
延长交于点，过点作平行线交延长线于点，角度推导证明，则，证明出，则，设，则，那么，由即可求出，即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作平行线交延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
19．/12厘米
【分析】如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、，根据两点之间线段最短，周长的最小值等于的长，根据轴对称的性质可得，，，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得．
【详解】解：如图，作点关于、的对称点、，连接分别与、相交，交点分别为点、，
∴，，，，，
∴，
当点与点重合、点与点重合时，即、、、四点共线取“”，此时周长取得最小值，最小值为的长，
∵，，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴周长的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点．确定周长的最小值是解题的关键，
20．/60度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据已知条件证明，得出，结合即可得出答案．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；
（1）由题意易得，然后问题可求解；
（2）由题意易得，然后问题可求解．
【详解】（1）解：∵是的中线，是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为37，，
∴，①
∵与的周长差为3，
∴，②
得：，
∴．
22．(1)见解析
(2)将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查了平移作图、三角形的面积计算，理解网格特点，熟练掌握平移性质，正确作出图形是解答的关键．
（1）利用平移性质得到点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质，得出使得完全落在第四象限的平移方式即可；
（3）利用网格特点，的面积等于矩形面积减去其周围三个小直角三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求作三角形；
（2）解：将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位后得到后，如图所示，则在第四象限，
故为了使得完全落在第四象限，可以将先向右平移5个单位，再向下平移5个单位；
（3）解：的面积为：
．
23．(1)这个多边形的边数为，这个多边形的内角和为；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）结合多边形的内角与相邻外角的关系构建方程求出每个外角，根据多边形外角和为即可得边数，利用多边形内角和公式即可求出内角和；
（2）延长交的延长线于点，延长交于点，由（）得，进而利用三角形的外角性质得，从而．，即可得证．
【详解】（1）解：设外角为，则内角为，
∴，
解得：，
∴边数：，
内角和：．
∴这个多边形的边数为，这个多边形的内角和为；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交的延长线于点，延长交于点，
由（1）得，
∴，
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角的关系、方程的思想，三角形的外角性质，两锐角互余的三角形是直角三角形．关键是记住多边形一个内角与相邻外角互补和外角和的特征．
24．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
（1）证明，得出，，即可得证；
（2）证明，得出，，即可得证；
（3）由（2）得且，求出，，再由三角形面积公式计算即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，即；
（3）解：由（2）得且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
25．(1)详见解析
(2)，详见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识，
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论成立；
（2）根据全等三角形的对应角相等得，对顶角相等得，利用三角形内角和定理可得结论；
熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
26．(1)见解析
(2)且
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；
（1）根据等腰三角形的性质，可得证明，，，进而可证全等；
（2）根据全等三角形的性质和8字模型求解即可．
【详解】（1）证明：，为等腰直角三角形，
，，，
，
，
；
（2）解：且，如图，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
27．(1)见解析
(2)① ② 或
(3)
【分析】（1）由， 可得， 即可证明；
（2）①设， 可得， 即得，， 根据， 有 故；
②， 分两种情况： 当时，，当时，；
（2）可证， 得， 即得， 知四边形周长最小时， 最小， 而， 可得当最小时， 四边形周长最小时， 此时， 根据， 面积为， 得， 从而可知四边形最小周长为．
【详解】（1）证明：，
。
即，
在和中，
，
∴；
（2）①如图：
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
，
解得，
；
②由①知，，，
当时，如图：
，
，
当 时，如图：
，
∴当是等腰三角形时，的度数为或；
（3）如图：
同（1）可证，
，
，
∴四边形周长最小时，最小，
。
∴当最小时，四边形周长最小时，此时，
面积为，
，
∴四边形最小周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰三角形性质及应用，四边形周长最小值等知识，解题的关键是掌握全等三角形判定定理， 证明.
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