选择必修 第三章 3.2.1 双曲线及其标准方程 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.掌握双曲线的标准方程及其求法． 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
椭圆标准方程
范围
对称性 顶点坐标
焦点坐标
半轴长 离心率 a、b、c关系 (a>b>0).
－a≤x≤a且－b≤y≤b
(a>b>0).
－b≤x≤b且－a≤y≤a
关于x、y轴成轴对称;关于原点(0,0)成中心对称
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
长半轴长为a,短半轴长为b(a>b).
e=, e∈(0,1).
a2=b2+c2(a>b>0).
知新引入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质 . 本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
我们知道, 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上
的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、
线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半
径作圆.
我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果||PA|-
|PB|||F1F2|<|AB|，那么两圆交点的轨迹是椭圆.
知新探究
如图，在|AB|<|F1F2||PA|+|PB|的条件下, 让点P
在线段AB外运动，这时动点M满足什么几何条件
两圆的交点M的轨迹是什么形状
我们发现，在|AB| <|F1F2|<|PA|+|PB|的条件下, 让点P在线段AB外运动时，
当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；
当点M靠近定点F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|;
知新探究
在|F1F2|>|AB|的条件下，点P在线段AB外运动时，当点M靠近定点F1时，|MF2|-|MF1|=|AB|；当点M靠近F2时，|MF1|-|MF2|=|AB|.总之，点M与两个定点F1，F2距离的差的绝对值是一个常数（|AB| <|F1F2|）.这时，点M的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支.
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线(hyperbola)．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距(记为2c)
思考：
1.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a=|F1F2|时)的轨迹是什么？
在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线.
2.与两定点的距离的差的绝对值等于常数(当2a>|F1F2| )时的轨迹是什么？
不存在
3.当||MF1|-|MF2||=2a=0时的轨迹是什么？
M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
知新探究
类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
x
y
O
F1
F2
M
观察我们画出的双曲线，可以发现它也具有对称性，直线F1F2是它的一条对称轴.
所以我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系Oxy.
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，焦点F1，F2的坐标分别为(-c , 0) ，(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0知新探究
x
y
O
F1
F2
M
设 M(x, y) 是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为 2c（ c > 0)，焦点F1，F2的坐标分别为(-c , 0) ，(c , 0).
又设||MF1|-|MF2||= 2a( a为大于0的常数, a由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0因为|MF1|=,|MF2|=,
所以
. ①
对①移项，得,
两边平方，得,
新知探究
两边平方，得,
整理，得 ,
两边平方，得,
整理，得,
两边同除以a2(c2-a2)，得 ,
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,所以c2-a2>0,
类比椭圆标准方程的建立过程 , 令b2=c2-a2 , 其中b＞0, 代入上式,得
. ②
你能在y轴上找一点B，使得|OB|=b吗
从上述过程中可以看到，双曲线上任意一点的坐标(x，y)都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点(x，y)与双曲线的两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)的距离之差的绝对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
新知探究
. ②
我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在 x 轴上，焦点分别是 F1(- c，0)，F2(c，0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
类比椭圆焦点在y轴上的标准方程，焦点在y轴上双曲线的标准方程是什么？
F2
F1
M
x
O
y
O
M
F2
F1
x
y
如图，双曲线的焦距为 2c ，焦点分别是 F1(0，- c)，F2(0，c)．a ，b 的意义同上，这时双曲线的方程是
.
这个方程也是双曲线的标准方程.
双曲线的两种标准方程形式都用“－”连接，如果x2的系数是正的，焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，焦点在y轴上.
新知探究
定义 图象
方程
焦点
a.b.c的关系 | |MF1|-|MF2| | =2a（0< 2a<|F1F2|）
F2
F1
M
x
O
y
.
F1(- c，0)，F2(c，0)
O
M
F2
F1
x
y
.
F1(0，- c)，F2(0，c)
c2=a2+b2，但a不一定大于b，焦点跟着正项走.
知新探究
【例1】已知双曲线的两个焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：
因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
.
由 2c=10，2a=6 . 即 c=5，a=3，
∴双曲线的标准方程为
∴b2=c2-a2=25-9=16.
．
知新探究
【例1】已知双曲线的两个焦点为F1(-5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
变式1：若|PF1|=10，求|PF2|？
变式2：若|PF1|-|PF2|=6，则点P的轨迹是什么？
4或16
双曲线的右支
变式3：若P到F1、F2距离的差的绝对值等于10呢？
变式4：若P到F1、F2距离的差的绝对值等于0呢？
两条射线
F1F2的垂直平分线
初试身手
1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标.
⑴; ⑵; ⑶.
⑴此方程是双曲线，其中a2=4,b2=2,c2=a2+b2=6.
∴其焦点分别为(-2,0),(2,0).
⑶方程可化为,它是双曲线.
∴其焦点分别为(,0),(,0)．
解：
∴其焦点分别为(,0),(,0).
⑵此方程是双曲线，其中a2=2,b2=2,c2=a2+b2=4.
其中a2=9,b2=4,c2=a2+b2=13.
知新探究
【例2】已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s. 且声速为340 m/s.求炮弹爆炸点的轨迹方程.
分析：先根据题意判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.
知新探究
【例2】已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s. 且声速为340 m/s.求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：
x
y
o
如图所示，建立平面直角坐标系Oxy，使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.
P
B
A
设炮弹爆炸点P的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|=340×2=680，
即2a=680，a=340.
又|AB|=800，
所以2c=800，c=400，b2=c2－a2=44400.
因为|PA|－|PB|=340×2=680＞0，
所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x＞340.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
=1(x＞340).
知新探究
拓展1：若在A，B两地同时听到炮弹爆炸声，则炮弹爆炸点的轨迹是什么
提示: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.
拓展2：根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢
利用两个不同的观测点A, B测得同一点P发出信号的时间差, 可以确定点P所在双曲线方程. 如果再增设一个观测点C，利用B、C(或A、C)两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置. 这是双曲线的一个重要应用.
知新探究
如图，点A，B的坐标分别为(－5，0)， (5，0).直线AM，
BM相交于点M，且它们斜率之积是，试求点M的轨迹方程，
并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你
有什么发现？
y
x
o
B
A
M
解：
设点M的坐标为(x, y) ，因为点A的坐标是(-5, 0)，所以直线AM的斜率为
.
同理，直线BM的斜率为
.
由已知，有.
化简，得点M的轨迹方程为
.
所以点M的轨迹是除去(-5 , 0) , (5 , 0)两点的双曲线.
与3.1例3比较，可以发现：
一个动点到两个定点连线的斜率之积如果是一个正常数，其轨迹是去掉两个顶点的双曲线；如果是一个负常数，其轨迹是掉两个顶点的椭圆.
课堂小结
椭圆 双曲线
定 义
方 程
焦 点
a，b，c的关系
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
(a>b>0).
(a>b>0).
.
.
F(±c，0)
F(0，±c)
F(0，±c)
F(±c，0)
a>b>0，a2=b2+c2
c2=a2+b2，c>a>0,c>b>0,但a不一定大于b.
作业布置
作业：
P127 习题3.2 第1，2,5,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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