江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月素养测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高二上学期10月素养测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知向量是平面的一个法向量，点在平面内，则下列点不在平面内的是( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A. B.
C. D.
4.已知空间向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法中，错误的是( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的一个方向向量为
C. 两平行直线与之间的距离是
D. 三点共线
6.已知直线与直线交于，则原点到直线距离的最大值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且
满足，点轨迹的长度是 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过两点的所有直线，其方程均可写为
D. 已知，若直线与线段有公共点，则
10.下列命题中错误的是( )
A. 若直线的方向向量，平面的法向量，则
B. 若是空间的一个基底，是空间的另一个基底
C. 已知空间向量则向量在向量上的投影向量是
D. 已知则与向量共面的向量可以是
11.在长方体中，，点在棱上，且点为线段上动点包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 当点为中点时，平面
B. 过点作与直线垂直的截面，则直线与截面所成的角的正切值为
C. 三棱锥的体积是定值
D. 点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，则点关于直线的对称点的坐标是 ．
13.已知空间向量，，的模长分别为，，，且两两夹角均为，点为的重心，则 ．
14.已知四面体中，，且与平面所成的角为，则当时，的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点和直线．
若直线经过点，且，求直线的方程；
若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
16.本小题分
已知直线经过点，
若点到直线的距离为，求直线的方程；
直线与，轴的正半轴交于，两点，求的最小值．
17.本小题分
如图，已知直三棱柱，，，，点为的中点．
证明：平面；
求直线到平面的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥．中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连接．
求证：平面；
求二面角的正弦值：
点为的四等分点靠近，求直线与平面所成的角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面．
证明：；
若点在棱上，且平面，求线段的长；
棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. 解：由直线的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为．
又直线经过点，所以直线的方程为：，即；
若直线经过原点，设直线方程为，
代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
代入可得，故直线方程为．
综上，直线的方程为和．

16. 解：当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离，符合要求；
当直线斜率存在时，设，即，
则有，解得，故；
综上所述，直线的方程为或；
如图，设，则，，
即，
由，则，故当时，
有．

17.解：证明：在直三棱柱中，
设与交于点，连接，
由于四边形是矩形，则为的中点，
又是的中点，
，
又平面，平面，
平面D.
由知平面，
故直线到平面的距离等价于点到平面的距离，
，，点为的中点，
所以，，
，
在直三棱柱中，平面，、平面，
，，
故，
，
所以在中由余弦定理可得
，
因为，
故，
故，
设到平面的距离为，
由，得
，
解得．
直线与平面的距离为．
18. 解：因为，，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
又平面平面，平面，
平面平面，
平面；
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，，，
由，令，则，即，
设平面的法向量为，，
由，令，则，，即，
则，
二面角的正弦值为；
【小问详解】
由点为靠近点的的四等分点，故，
则，
又平面的法向量为，
故直线与平面所成的角的正弦值为：
，
即直线与平面所成的角的余弦值为．

19. 解：连接，因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以；

取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，
由于平面，以为原点，
分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
则，
设，则，，
，，
设平面的法向量为，则有
令，则，，即，
由平面，则，
即有，
解得，即；
【小问详解】
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得，
设平面的法向量，则
令，即，所以，
又由平面的法向量为，
所以，解得，
由于二面角为锐角，则点在线段上，
所以，即，
故棱上存在一点，当时，二面角的余弦值为．

第1页，共1页