江苏省扬州市“六校联盟”2024-2025学年高二上学期第一次联测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市“六校联盟”高二上学期第一次联测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.经过点，且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.“”是“直线：与直线：互相平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知直线倾斜角的余弦值为，且经过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知圆内一点，则过点的最短弦所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.直线，直线，给出下列命题：
，使得； ，使得；
，与都相交； ，使得原点到的距离为．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线，下列说法正确的是( )
A. 若，则直线的倾斜角为
B. 若直线的在两坐标轴的截距相等，则
C. 直线与直线垂直，则
D. 若直线不过第二象限，则
10.已知直线和圆，则( )
A. 直线恒过定点
B. 存在使得直线与直线：垂直
C. 直线与圆相交
D. 若，直线被圆截得的弦长为
11.已知圆，则( )
A. 圆与直线必有两个交点
B. 圆上存在个点到直线的距离都等于
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ．
13.写出圆：与圆：的一条公切线方程 ．
14.过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，，直线过定点 记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，，，线段的中点为，且．
求的值；
求边上的中线所在直线的方程．
16.本小题分
在中，已知顶点，边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为．
求点的坐标；
求直线的方程．
17.本小题分
已知定点，，动点满足设动点的轨迹是曲线，
求曲线的方程；
直线和曲线交于两点、，求线段的长；
若实数，满足曲线的方程，求的最大值．
18.本小题分
已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切．
求圆的标准方程；
直线与圆交于，两点．
求的取值范围；
证明：直线与直线的斜率之和为定值．
19.本小题分
已知圆过点，且与直线相切于点．
求圆的方程；
过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；
在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.或之一也可以
14.

15.解：因为，，所以的坐标为，
因为，所以，
解得．
设线段的中点为，由知，则，
所以，
所以直线的方程为，化简得，
即边上的中线所在直线的方程为．
16.解：由内角的平分线所在直线方程为知，
点在直线上，
设，
则中点的坐标为．
由边上的中线所在直线方程为知，
点在直线上，
，解得．
点的坐标为．
设点与点关于直线对称，
则
，解得．
点的坐标为．
由直线为内角的平分线所在直线，知点在直线上．
直线方程为，即．

17.解：设，由得，
两边平方化简得，
所以曲线的方程．
由知曲线是以为圆心，为半径的圆，
所以圆心到直线的距离是，
所以；
设点在圆上，，
所以表示圆上的点与定点两点所在直线的斜率，如图，

由图可知直线与圆相切时取得最大值和最小值，
此时圆心到直线距离为，整理得，解得，
所以的最大值为．

18.解：由题意，设圆心为，因为圆过原点，所以半径，
又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离负值舍去，所以圆的标准方程为：．
将直线代入圆的方程可得：，因为有两个交点，
所以，即的取值范围是．
(ⅱ)设，由根与系数的关系：
所以．
即直线，斜率之和为定值．

19.解：设圆心坐标为，则，解得：
圆的半径，
圆的方程为：．
为直角三角形，，，
则圆心到直线的距离；
当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；
当直线斜率存在时，可设，即，
，解得：，
，即；
综上所述：直线的方程为或．
假设在直线存在点，使为正三角形，，，
设，，解得：或，
存在点或，使为正三角形．

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