江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省如东一中、宿迁一中、徐州中学高一上学期10月联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若实数，满足，则下列关系中正确的是( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为，则函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
6.下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知正实数满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 命题“，都有”的否定是“，使得”
B. 集合，若，则实数的取值集合为
C. 集合，，若，则的值为或
D. 已知集合，则满足条件 的 集合的个数为
10.下列说法正确的有( )
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数，为实数，若，则的最大值为
D. 设，为实数，若，则的最大值为
11.已知有限集，如果中元素满足，就称为“完美集”下列结论中正确的有( )
A. 集合是“完美集”
B. 若、是两个不同的正数，且是“完美集”，则、至少有一个大于
C. 二元“完美集”有无穷多个
D. 若，则“完美集”有且只有一个，且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则 ．
13.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ．
14.已知正实数，满足，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，实数集为全集．
求；
若是的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
求下列各式的值：
；
．
已知，且，求的最小值．
17.本小题分
为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为的矩形海报纸记为矩形，如图上设计四个等高的宣传栏栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形，为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，设．
将四个宣传栏的总面积表示为的表达式，并写出的范围；
为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸和分别为多少时，可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
18.本小题分
已知函数．
若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围；
已知集合，，若，求的取值范围．
19.本小题分
设函数．
若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
当时，求不等式的解集；
当，时，记不等式的解集为，集合，若对于任意正数，，求的最大值．
参考答案
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14.
15.解：
解：集合，
又，全集为实数集，
则或，
；
因为是的必要条件，且，
所以，
当时，，解得；
当时，，解得，
综上：的取值范围是．

16.解：
原式
．
原式
．
由题意，，
则
，
当且仅当，即取等号．
所以的最小值为．

17.解：
根据题意，矩形海报纸面积为，
所以，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，
所以四个宣传栏的总面积，
其中所以．
即．
由知，
则
，当且仅当时取等号，
则，当且仅当时取等号，
即，时，
可使用宣传栏总面积最大为．

18.解：
，，不符合题意舍，
，时，不恒在轴上方舍，
，若函数的图象恒在轴上方，
则，即，
综上所述：实数的取值范围为；
法：使得有解，
，，
令，令，则，，
其对称轴为，故函数在上单调递增，故，
故实数的取值范围为．
法：时，舍；
时，，，，
正根，解得．
时，过，对称轴，
所以在内与轴无交点舍．
综上可知实数的取值范围为．

19.解：
时，，
当时，由解得，满足题意；
当时，由有一解可得，解得或，
综上，实数的取值集合．
由可得，
化简可得，即，
，或，
故不等式的解集为．
集合，对于任意正数，，
，
满足当时，函数，则，
，
则，
令，此时，
则，
当且仅当，即，即，时，取等号，
故的最大值为．

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