内蒙古鄂尔多斯三中2024-2025学年高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古鄂尔多斯三中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
2.的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
3.若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是( )
A. 每一个命题都能判断真假
B. 存在一条直线与两条相交直线都平行
C. 对任意实数，，若，则
D. 存在，使
5.若集合，，则的子集有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢篮球或羽毛球，的学生喜欢篮球，的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A. B. C. D.
7.对于任意的，，定义运算：若不等式对任意实数恒成立，则( )
A. B. C. D.
8.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知集合、的关系如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.下列结论正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.二次函数的图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
12.已知全集，是的子集，当时，且，则称为的一个“孤立元素”，则下列说法正确的是( )
A. 若中元素均为孤立元素，则中最多有个元素
B. 若中不含孤立元素，则中最少有个元素
C. 若中元素均为孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个
D. 若中不含孤立元素，且仅有个元素，则这样的集合共有个
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题：，的否定为______．
14.如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为______．
15.若，则 ______．
16.若对，，使得成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知集合，．
求；
若，，求实数的取值范围．
18.（12分）已知，求证：的充要条件是．
19.（12分）已知：，，：，．
若成立，求实数的取值范围；
若和中至多有一个成立，求实数的取值范围．
20.（12分）设，，为正数，求证：；
解关于的不等式：．
21.（12分）为宣传年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸记为矩形，如图上设计四个等高的宣传栏栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且，宣传栏图中阴影部分的面积之和为为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是，设．
当时，求海报纸矩形的周长；
为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少即矩形的面积最小？
22.（12分）若实数，，满足，则称比远离．
若比远离，求实数的取值范围；
若，，试问：与哪一个更远离？并说明理由．
参考答案
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13.，
14.
15.或
16.
17.解：，，
或，
则或；
集合，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
18.证明：因为，所以，
又，所以，
所以充分性成立；
因为，
而，所以，
所以，所以必要性成立．
综上，的充要条件是．
19.解：当成立时，不成立，
：，，
当时，，
成立时，，不成立，．
故实数的取值范围为．
和中至多有一个成立，
考虑其反面：和均成立，
当成立时，，解得或．
由得，成立时，．
，均成立时，由得．
故，至多有一个成立时，．
综上，实数的取值范围为．
20.证明：因为，，为正数，
由基本不等式可得，，当且仅当时取等号，
，当且仅当取等号，
，当且仅当取等号，
以上三式相加有，
即，当且仅当时取等号；
解：，即，
当时，，，的解集为，
当时，，等价于，即；
当时，等价于，即或，
综上可得：时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
21.解：设阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知，．
海报纸的周长为．
故海报纸的周长为．
由知，，，
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时，，．
故选择矩形的长、宽分别为 ， 的海报纸，可使用纸量最少．
22.解：比远离，
则，即，
两边平方，得，解得，
故实数的取值范围为；
因为，所以．
，
当时，，
当且仅当，即，或时等号成立，所以．
此时比远离；
当时，，
当且仅当，即，或时等号成立，所以．
此时比远离．
综上，比远离．
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