河南省洛阳市强基联盟2024-2025学年高二（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河南省洛阳市强基联盟高二（上）联考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形中，( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五商功中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”如图，在“阳马”中，为的重心，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则等于( )
A. B. C. 或 D.
5.已知为平面内一点，若平面的法向量为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8.在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10.如图，四边形，都是边长为的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则( )
A.
B. 异面直线，所成角为
C. 点到直线的距离为
D. 的面积是
11.在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为( )
A. 若点在平面内，则
B. 若，则
C. 当时，三棱锥的体积为
D. 当时，长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量，，若，则 ______．
13.在空间直角坐标系中，点，，，的坐标分别是，，，，若，，，四点共面，则______．
14.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间向量．
求；
判断与以及与的位置关系．
16.本小题分
已知正四面体的棱长为，点是的重心，点是线段的中点．
用，，表示，并求出；
求．
17.本小题分
如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点．
证明：，，，四点共面；
若点在棱，且平面，求的长度．
18.本小题分
如图，四棱柱的底面为矩形，，为中点，平面平面．
证明：平面；
求二面角的平面角的余弦值．
19.本小题分
在三棱台中，平面，，，分别为，的中点．
证明：平面；
已知，为线段上的动点包括端点．
求三棱台的体积；
求与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.
2.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题知，，
所以；
因为，
所以，
所以；
因为，
所以，所以．
16.解：点是线段的中点，
，
，
，
．
．
17.证明：连接，，，
因为，，，分别为棱，，，的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，
所以，所以，，，四点共面；
解：以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
由，，，，，分别为棱，，，的中点，
可得，，，，
则，，
设，即，则，
由平面，故，
即，解得，
所以．
18.解证明：底面是矩形，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
，
，
又，，平面，
平面；
取的中点，连接，
，
，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，连接，
又底面为矩形，
，
，，两两互相垂直，
建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示：
设，
则，，，，
，
由得平面，则是平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，则，取，则，，
则，
设二面角的平面角为，则，
由图可得二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值为．
19.解：证明：设交于点，连接，
在三棱台中，，，又为的中点，
所以，又，
所以四边形是平行四边形，为的中点，
又为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
连接，因为平面，且平面，
所以平面平面，
因为，为的中点，
所以，又平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，，
故四边形为菱形，即，
所以三棱台的体积为．
如图所示建立平面直角坐标系，则，，，，不妨设，，则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，得，
令，可得，
设与平面所成角为，
则，
当且仅当时，等号成立，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为．
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