2024-2025学年北京171中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京171中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若，，，且，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则 ．
A. B. C. D.
4.某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图和图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.如图，在三棱锥中，是的中点，若，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，则“”是“直线与直线垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若数据、、的平均数是，方差是，数据、、、的平均
数是，标准差是，则下列结论正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
8.如图，在四棱锥中，平面，，，
则点到直线的距离为( )
A. B.
C. D.
9.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，已知正方体的棱长为，，分别是棱，上的中点．若点为侧面正方形内含边动点，且存在，使成立，则点的轨迹长度为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知空间向量，，若，则实数______，______．
12.直线，的方向向量分别为，，则直线，的夹角为______．
13.已知空间三点，，，则在上的投影向量的坐标是______．
14.已知两点，，直线过点与线段有交点，则直线斜率取值范围为______．
15.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：
存在点，使得；
的面积越来越小；
四面体的体积不变．
所有正确的结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
经过点，且与直线垂直的直线一般式方程．
求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为的直线斜率．
17.本小题分
对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取名学生，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．
分组 频数 频率
合计
求出表中，及图中的值；
若该校有高三学生人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；
估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数保留一位小数
18.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
19.本小题分
如图，在长方体中，，和交于点，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求
平面与平面的夹角的余弦值；
点到平面的距离．
条件：；
条件：与平面所成角为．
注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
已知底面是平行四边形，平面，，，，且．
求证：平面平面；
线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知集合，，，，，，对于，，定义与的差为；与之间的距离为
Ⅰ若，试写出所有可能的，；
Ⅱ，，，证明：；
Ⅲ，，，，，三个数中是否一定有偶数？证明你的结论．
参考答案
1.
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5.
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10.
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13.
14.
15.
16.解：设与直线垂直的直线方程为，
又该直线过点，
则，解得，
所以所求直线方程为：；
设与直线平行的直线方程为，
又该直线过点，则，解得，
所以所求直线方程为：；
显然直线不过原点，设其方程为，
则，
整理可得：，解得，
而直线，即，
其斜率为，
所以所求直线的斜率为或．
17.解：由分组对应的频数是，频率是，可得，
解得，
所以，解得，
所以；
估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数为；
估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是，
因为，
所以估计该校高三学生参加社区服务次数的中位数满足，
解得，
即该校高三学生参加社区服务次数的中位数约为，
估计该校高三学生参加社区服务次数的平均数是．
18.解：每组小矩形的面积之和为，
，
．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，得，故第百分位数为；
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故．
所以两组市民成绩的总平均数是，
，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
19.证明：Ⅰ如图，连接，，．
因为长方体中，且，
所以四边形为平行四边形，
所以为的中点，
在中，因为，分别为和的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：Ⅱ选条件：D.
连接C.
因为长方体中，所以，
在中，因为为的中点，，
所以，
如图建立空间直角坐标系，因为长方体中，
则，
，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，可得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为；
因为，
所以点到平面的距离为．
选条件：与平面所成角为．
连接C.
因为长方体中，平面，平面，
所以C.
所以为直线与平面所成角，即，
所以为等腰直角三角形，
因为长方体中，所以．
所以．
以下同选条件．
20.证明：因为平面，平面，
所以，
，可得，，，底面是平行四边形，
所以，
由余弦定理可得，
可得，
所以，即，
可得，
而，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
由可得，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，，可得，
则，，，，，
设平面的法向量为，
，，
则，即，
令，
可得，
设线段上存在点，满足条件，
设，，
所以，则，
所以，，，
所以，，
直线与平面所成的角为，，
则，，
又因为直线与平面所成角的正弦值是，即，
所以，
整理可得：，
解得或．
所以或．
所以存在这样的点满足条件．
21.解：Ⅰ ，；，；
，；，．
Ⅱ证明：令，，，
对，，，，
当时，有；
当时，有
所以
．
Ⅲ证明：，，，，，三个数中一定有偶数．
理由如下：
因为，
且与奇偶性相同．
所以为偶数，
故为偶数，
所以，，三个数不可能都是奇数，
即，，三个数中一定有偶数．
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