北京市朝阳区首师附实验学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区首师附实验学校高二上学期9月月考
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.如图，在平行六面体中，( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知正方体的棱长为，( )
A. B. C. D.
5.设，分别是平面，的法向量，其中，，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为( )
A. B. C. D.
7.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与不能构成空间基底的向量是( )
A. B. C. D. 或
9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
10.在棱长为的正四面体四个面都是正三角形中，，分别为，的中点，则和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共55小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，则与共线的单位向量为 ．
12.已知向量，且，则 ， ．
13.已知直线经过，两点，则点到直线的距离为 ．
14.在空间直角坐标系中，已知，，则与的夹角的余弦值为 ；在的投影向量 ．
15.以下关于空间向量的说法：
若非零向量，，满足，，则
任意向量，，满足
若为空间向量的一组基底，且，则，，，四点共面
已知向量，，若，则为钝角
其中正确命题的序号是 ．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.如图，在正方体中，，为线段的中点．
求证：；
求平面的法向量；
求点到平面的距离．
17.如图，正三棱柱的底面边长为，高为，为的中点，为的中点．

求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.如图，在平行六面体中，，，，，，与相交于点，设，，．
试用基底表示向量；
求的长；
求直线与直线所成角．
19.如图，四棱锥--的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
求证：；
若平面，求平面与平面的夹角大小；
在的条件下，侧棱上是否存在一点，使得 平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.

13.
14.

15.
16.因为是正方体，故可得面，
又面，故可得．
以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：
则可得：，
设平面的法向量为，
则，即，取，可得，
故平面的一个法向量为．
设点到平面的距离为，
则．
故点到平面的距离为．

17.

如图以为坐标原点，以，所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
所以，即
令，所以，，
即为平面的一个法向量，
所以，
又因为平面，
所以平面；
由知，，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.；
，，，，，
所以，
，
，
由知，
所以，
所以；
，
，
，
所以与所成角为，
所以直线与直线所成角为．

19.解：求证：连接，交于，连接、，
因为四边形是正方形，所以，，
又因为，所以，
因为，，
所以平面，
因为平面，
所以．
由知平面，，
所以，又，
所以是平面与平面所成二面角的平面角，
因为平面，平面，
所以，设，
所以，
因为为锐角，所以，
所以平面与平面的夹角大小为．
存在，，理由如下：
过作，交于，交于，过作，交于，交于，
连接，因为，，
所以平面平面，平面，
所以平面，
设，
则，
，
所以．

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