北京市朝阳区北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市朝阳区北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 174.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-18 23:14:50 | ||
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文档简介
2024-2025学年北京工业大学附属中学高二上学期10月阶段性检测
数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知点若直线与线段相交，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
7.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交但直线不过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交且直线过圆心
9.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，，则的方程为
A. B. C. D.
10.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
11.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有多年以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于，两点，，若点是椭圆上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 的最小值为
B. 的面积的最大值为
C. 的取值范围为
D. 上有且只有个点，使得是直角三角形
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.两条直线和的交点为 ．
14.点关于直线：的对称点的坐标为 ．
15.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ．
16.已知分别为椭圆的左，右焦点，为上一点，内切圆的半径为 ．
17.把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为 ，的周长的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知圆：．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值．
20.本小题分
已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
求椭圆的方程；
设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
21.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
求的方程．
若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点．
Ⅰ求椭圆的方程
Ⅱ已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，与直线交于点，设，，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：由于，所以的斜率为，中点的坐标为，则由斜截式可得，直线的方程为；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，因为纵截距是横截距的倍，所以，又因为过点，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或
19.圆：的圆心，半径，
设过点的圆的切线方程为：，
于是得，整理得：，则有：或，
当时，切线方程为：，当时，切线方程为：，
所以，所求切线方程为：或．
因直线被圆所截弦的长为，则圆心到直线的距离为，
于是得，解得，
所以的值为．
20.由题意可知：，则，
，，
，
椭圆
，直线：，
联立方程组得
设，
则，
点到直线的距离
21.解：设椭圆的半焦距为，
因为，所以，
则，又，所以，，
故椭圆的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，，
设直线的方程为，设，，
由可得，
则，
且，，
设直线，的倾斜角分别为，，
则，，代入，，
所以，
即有，
化简可得，
则直线的方程为，
故直线过定点．
22.解：Ⅰ由题意可知，
由椭圆：的离心率为，可得，
由椭圆：经过点，可得，
椭圆中、、满足，
联立，解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由，得，即，
由，得，
整理得，
由，得．
设直线与椭圆的交点为、，
则，，
，，且，，
，，
则，
，
故．
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数学试题
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
4.已知点若直线与线段相交，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为( )
A. B.
C. D.
6.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为( )
A. B.
C. D.
7.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.直线与圆的位置关系是( )
A. 相交但直线不过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交且直线过圆心
9.已知椭圆的焦点为，过的直线与交于，两点若，，则的方程为
A. B. C. D.
10.吹奏乐器“埙”如图在古代通常是用陶土烧制的，一种“埙”的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆，已知半椭圆且为常数和半圆组成的曲线如图所示，曲线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，点是半圆上任意一点，当点的坐标为时，的面积最大，则半椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
11.油纸伞是中国传统工艺品，使用历史已有多年以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面油纸伞是世界上最早的雨伞，纯手工制成，全部取材于天然，是中国古人智慧的结晶在某市开展的油纸伞文化艺术节中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端的距离为，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子，此时阳光照射方向与地面的夹角为，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则该椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左，右焦点分别为，过点垂直于轴的直线交椭圆于，两点，，若点是椭圆上的动点，则下列说法错误的是( )
A. 的最小值为
B. 的面积的最大值为
C. 的取值范围为
D. 上有且只有个点，使得是直角三角形
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
13.两条直线和的交点为 ．
14.点关于直线：的对称点的坐标为 ．
15.直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 ．
16.已知分别为椭圆的左，右焦点，为上一点，内切圆的半径为 ．
17.把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为 ，的周长的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
已知顶点、、．
求边的垂直平分线的方程；
若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
19.本小题分
已知圆：．
求过点的圆的切线方程；
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值．
20.本小题分
已知椭圆长轴长为，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
求椭圆的方程；
设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
21.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，，且．
求的方程．
若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点．
22.本小题分
已知椭圆的离心率为，且椭圆经过点．
Ⅰ求椭圆的方程
Ⅱ已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，与直线交于点，设，，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.解：由于，所以的斜率为，中点的坐标为，则由斜截式可得，直线的方程为；
当横、纵截距均为时，的斜率为，所以的方程为；
当横、纵截距均不为时，设的方程为，因为纵截距是横截距的倍，所以，又因为过点，所以，解得，所以直线的方程为，综上，直线的方程为或
19.圆：的圆心，半径，
设过点的圆的切线方程为：，
于是得，整理得：，则有：或，
当时，切线方程为：，当时，切线方程为：，
所以，所求切线方程为：或．
因直线被圆所截弦的长为，则圆心到直线的距离为，
于是得，解得，
所以的值为．
20.由题意可知：，则，
，，
，
椭圆
，直线：，
联立方程组得
设，
则，
点到直线的距离
21.解：设椭圆的半焦距为，
因为，所以，
则，又，所以，，
故椭圆的方程为；
由题意可得直线的斜率存在，，
设直线的方程为，设，，
由可得，
则，
且，，
设直线，的倾斜角分别为，，
则，，代入，，
所以，
即有，
化简可得，
则直线的方程为，
故直线过定点．
22.解：Ⅰ由题意可知，
由椭圆：的离心率为，可得，
由椭圆：经过点，可得，
椭圆中、、满足，
联立，解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．
由，得，即，
由，得，
整理得，
由，得．
设直线与椭圆的交点为、，
则，，
，，且，，
，，
则，
，
故．
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