上海市第六十中学2024-2025学年高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海六十中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.用数学归纳法证明：为正整数从到时，等式左边需增加的代数式是( )
A. B.
C. D.
2.的斜二测直观图如图所示图中虚线分别与轴，轴平行，且，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.对于数列，以下命题正确的个数有( )
若，则为等比数列；
若，则为等比数列；
若，则为等比数列．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
4.已知等差数列满足，，则 ______．
5.已知数列中，，，则______．
6.空间中的三个平面最多能把空间分成______部分．
7.已知数列中，，，则 ______．
8.已知等比数列是严格减数列，其前项和为，，若，，成等差数列，则 ______．
9.已知数列是等差数列，，公差，为其前项和，满足，则当取得最大值时，______．
10.已知等比数列满足，等差数列满足，则 ．
11.设，表示两个平面，表示直线，，，表示三个不同的点，给出下列命题：
若，，，，则；
，不重合，若，，，，则；
若，，则；
若，，，，，，且，，不共线，则与重合．
其中假命题的序号是______．
12.已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是______．
13.在数列中，，，则数列的前项和______．
三、解答题：本题共4小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
用符号语言表示下列语句，并画出图形：直线，分别在平面，内，且点在平面与平面的交线上．
在正方体中，，，分别是，，的中点，平面过，，三点，则平面截此正方体的截面为一个多边形，
(ⅰ)仅用铅笔和无刻度直尺，在正方体中画出此截面多边形保留作图痕迹，不需要写作图步骤；
(ⅱ)若正方体的棱长为，直接写出此截面多边形的周长．
15.本小题分
已知函数，数列是正项等比数列，且，
计算的值；
用书本上推导等差数列前项和的方法，求的值．
16.本小题分
已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列．
用数学归纳法证明：是正整数；
求数列的通项公式．
17.本小题分
设数列的前项和为，且，数列满足，其中．
证明为等差数列，求数列的通项公式；
求数列的前项和为；
求使不等式；对任意正整数都成立的最大实数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.或
10.
11.
12.
13.
14.解：用符号表示：，，，，，，如图：
在正方体中画出此截面多边形如图所示：
作直线分别与，延长线于，，连接交于，
连接交于，最后连接，，即得截面；
由题设，易知，进而易得，，
截面多边形的周长等于，
因为，所以，
所以，
所以，，
所以，
又因为，
所以截面多边形的周长等于．
15.解：因为函数，
所以；
因为数列是正项等比数列，且，
则，
所以，
同理，
令，
又，
则有，故，
所以．
16.证明：，，成等差数列，，
则，
当时，，等式成立，
当时，成立，
当时，
，等式成立，
由可知，是正整数；
解：当时，，
当时，，
当时，也满足上式，
综上所述，数列的通项公式为．
17.解：证明：由，可得，解得，
时，由，可得，
上面两式相减可得，
即有，
则，
可得是首项为、公差为的等差数列，
即有，即；
，
，
，
上面两式相减可得
，
即有；
，
不等式；对任意正整数都成立，
即为恒成立，
即有对任意正整数都成立．
设，，
，
所以当时，单调递增，
，则，
可得的最大值为．
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