2024-2025学年山东省实验中学高一(上)月考数学试卷(10月份)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,,,则( )
A. , B. ,
C. D.
2.已知命题:“,”,则它的否定为( )
A. , B. ,
C. , D. ,
3.已知,是实数,则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为,则的值为( )
A. B.
C. 或 D. 或
5.设,,若,则实数的值不可以为( )
A. B. C. D.
6.设,,且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数,,若对于任一实数,与至少有一个为正数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则函数的值域是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.中文“函数”一词,最早是由近代数学家李善兰翻译的,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中是同一个函数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10.下列不等式的解集正确的是( )
A. 的解集是
B. 的解集是
C. 的解集是
D. 的解集是
11.已知,,且,则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.函数的定义域为 .
13.分段函数可以表示为,分段函数可表示为,仿照上述式子,分段函数可表示为______.
14.对任意的正实数,,,满足,则的最小值为______.
四、解答题:本题共3小题,共47分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合,.
求,;
当时,求的非空真子集个数.
16.本小题分
已知函数.
若不等式的解集为,求,的值;
若对任意的,恒成立,求实数的取值范围;
已知,当时,若对任意的,总存在,使成立,求实数的取值范围.
17.本小题分
将全体自然数填入如表所示的行无穷列的表格中,每格只填一个数字,不同格内的数字不同.
第行
第行
第行
对于正整数,,如果存在满足上述条件的一种填法,使得对任意,都有,,分别在表格的不同行,则称数对为自然数集的“友好数对”.
Ⅰ试判断数对是否是的“友好数对”,并说明理由;
Ⅱ试判断数对是否是的“友好数对”,并说明理由;
Ⅲ若,请选择一个数,使得数对是的“友好数对”,写出相应的表格填法;并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件结论不要求证明.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:由,,
则,
.
当时,,
则的非空真子集有,共个.
16.解:原不等式可化为,因为该不等式解集为,
可知的两根为和,
则,即,
故解得;
若对任意的,恒成立,
所以对任意的,恒成立,
即对任意的恒成立,
所以,
又因为,,
当且仅当,即时取等号,
所以,
所以实数的取值范围是;
当时,,
因为,所以函数的值域是,
因为对任意的,总存在,使成立,
所以的值域是的值域的子集,
当时,,则,解得,
当时,,则,解得,
当时,,显然不成立,
综上所述,实数的取值范围是.
17.解:Ⅰ,是,
将第一行放,第二行放,第三行放
显然对,不论被整除余数为,,,都会使,,在不同行,
Ⅱ,不是
不妨将放在第一行,放在第二行,放在第三行,
由题意、、均不同行,
若在第一行,则在第三行,
这与、、不同行矛盾;
若在第三行,则与、、不同行矛盾;
若在第二行,则与、、不同行矛盾;
无解.
Ⅲ存在.令即可
构造方式如下:
,经验证满足要求.
使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为:或.
第1页,共1页