2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知空间向量，，则( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为( )
A. B. C. D.
5.若，，且，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，空间四边形中，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为( )
A. B. C. D.
9.已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为( )
A. B. C. D.
10.如图，在正方体中，点是侧面内的一个动点，若点满足，则点的轨迹为( )
A. 圆 B. 半圆 C. 直线 D. 线段
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知向量，则 ．
12.已知点的中点坐标为 ．
13.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为
14.正四棱锥所有棱长均为，则侧面与底面所成二面角的正切值为 ．
15.棱长为的正方体中，若点为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是 ．
平面平面
四面体的体积是定值
可能是钝角三角形
直线与所成的角可能为
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在长方体中，，点在上，且．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，已知直三棱柱中，若为的中点．

求异面直线与所成角的余弦值
求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面为正三角形，分别为棱，的中点．
如图，为棱的中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，是否合理？请说明理由；
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，点为棱的中点．
在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点的位置，如果不存在，请并说明理由；
若二面角的余弦值为时，求棱的长度，并求点到平面的距离．
参考答案
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16.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，
可得，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值．
由可得：，
所以到平面的距离为．

17.因为平面，且，
如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
可得，
则，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
由可得：，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
且平面的法向量，
可得，
由图形可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．

18.合理，理由如下：
由题意可知：，且，
可知为平行四边形，可得，
因为平面，可得平面，
且平面，可得，
又因为为正三角形，且为棱的中点，则，
即两两垂直，所以可以以为坐标原点建立空间直角坐标系．
由中空间直角坐标系可得：，
则，
可得，即，
且，平面，所以平面．
由可知：，，
设平面的法向量为，则
令，则，可得，
且平面的法向量为，
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值．

19.取的中点，连接，
因为分别为的中点，则，
且平面，平面，可得平面，
又因为平面，，平面，
可得平面平面，
且平面平面，平面平面，可得，
由题意可知：，则为平行四边形，
可得，即点为的中点，
所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点．
取的中点，连接，
由题意可知：为等边三角形，则，
且，可得，
又因为底面，
则可以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
可得，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
且平面的法向量，
由题意可得：，解得舍负，
可得，，
所以点到平面的距离．

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