2024-2025学年北京市朝阳区北京中学科技分校高一上学期9月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区北京中学科技分校高一上学期9月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.命题：的否定是( )
A. B. C. D.
5.设，为非零实数，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
6.函数的最小值及取得最小值时的值为( )
A. 当时最小值为 B. 当时最小值为
C. 当时最小值为 D. 当时最小值为
7.西游记、三国演义、水浒传和红楼梦被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有位学生，其中阅读过西游记或红楼梦的人数为，阅读过红楼梦的人数为，阅读过西游记且阅读过红楼梦的人数为，则这名学生中，阅读过西游记的学生人数为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
9.已知不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
10.已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知，，，则的最大值为 ．
12.若不等式的解集是，则不等式的解集为 ．
13.某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为单位：万元若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人 台
14.已知，则的最小值为 ，当取得最小值时的值为 ．
15.设为非空数集，若，都有，，，则称为封闭集下列命题：
整数集是封闭集；
自然数集是封闭集；
封闭集一定是无限集；
若为封闭集，则一定有．
其中所有真命题的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设集合．
若，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知，求的最小值．
已知，求的最大值．
20.本小题分
已知，且；，且．
是否存在实数，使得，，若存在求出实数的值，若不存在，说明理由；
若是的充分条件，求实数的取值范围．
21.本小题分
设为正整数，对任意的，，定义
当时，，，求；
当时，集合，对于任意，，均为偶数，求中元素个数的最大值；
集合，对于任意，，，均有，求中元素个数的最大值．
参考答案
1.
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14.

15.
16.解：由题意，可知
由，知，从而得，
即，解得或．
当时，，满足条件；
当时，，满足条件．
所以或．
对于集合中的方程，．
因为，所以．
当，即时，，满足条件；
当，即时，，满足条件；
当，即时，才能满足条件，
由根与系数的关系，得，即，无解．
故实数的取值范围是．

17.由题知，，
，
因为，所以，
所以．
因为，
且，，
所以．

18.不等式化为，
当时，解得；
当时，不等式化为，解得或；
当时，不等式化为，
若，即，解得；
若，解得；
若，即，解得，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

19.因为，所以，
所以
当且仅当时等号成立，所以所求最小值为．
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以所求最大值为．

20.解不等式，得或，
故或
假设存在，使得，，
则有且，
解得，
所以，当时满足题意；
若是的充分条件，则，
则，或
解得，或，
所以的取值范围为．

21.当时，
；
因为均为偶数，所以结果为或，
若，则中的任意两个元素乘积为，
即共有四个元素，
若，则中必有两个位置为，
即，
所以中元素个数的最大值为
，中的“”变为“”，“”变为“”，
得到，
可得，
因为，，
所以，
因为中有个元素，
则中元素个数最多有个，
所以中元素个数的最大值为．

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