2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期10月适应性检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二上学期10月适应性检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的一个方向向量，且过点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
4.直线与直线平行，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要
5.已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.以，，为顶点的三角形的面积等于( )
A. B. C. D.
7.若动点分别在直线和上移动，则的中点到原点距离的最小值为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥满足，二面角的大小为，，，，
则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则是锐角
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
10.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个法向量为
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
11.已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是( )
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆
D. 若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围为 ．
13.过点且在轴、轴上截距相等的直线方程为 ．
14.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线．
求证：直线过定点；
若直线不经过第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知直线：，：
若，求实数的值；
若，求，之间的距离．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，，分别为，，的中点．
证明：平面E.
若，，求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点，是边长为的等边三角形，点在棱上，．
证明：；
当时，求点到直线的距离；
若二面角的大小为，求三棱锥的体积．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
求证：平面平面；
设．
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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13.或
14.
15.
由，即，
则，解得
所以直线过定点；
如图所示，结合图像可知，
当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立；
当时，直线斜率存在，方程，
又直线不经过第二象限，则，解得；
综上所述．

16.解：因为，所以，
整理得，即，
解得或；
因为，所以，
解得或．
当时，，，，重合；
当时，，，符合题意，
此时，之间的距离．
17.证明：取的中点，连接，，，
因为是的中位线，
所以，且，
同理可得，且，
又，且，
所以，且，
则四边形是平行四边形，从而，
因为平面，平面，
所以平面E.
解：在直四棱柱中，
因为，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
由得，取，可得．
设平面的法向量为，
由得
取，可得，
所以，．
易知二面角为锐角，所以其余弦值为．

18.
因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
，，，
又，
所以，则，
所以点到直线的距离为；
设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又
所以由，得
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故三棱锥的体积．

19.
在四棱锥中，平面平面，，
平面，平面平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
如图以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立如图所示直角空间坐标系，
设，则，由，，，，
则，，因，则，，
所以，
设平面的法向量为，由，，得：
，可取
设直线与平面所成角为，
则有：，，
即：，化简得：，
解得或，即或
如图，假设在线段上是否存在点，使得点，，在以为球心的球上，
由，得，所以，
所以，
又得，，所以，
由得，即，
亦即，
因为，所以方程无实数解，
所以线段上不存在点，使得点，，在以为球心的球上．

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