2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷（含答案）

2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.已知集合，，若，则满足集合的个数为( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是，则的解集是( )
A. B.
C. D.
4.集合，且，实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或或
5.已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7.已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的值不可能为( )
A. B. C. D.
8.设，，则三个数( )
A. 都小于 B. 至少有一个不大于
C. 都大于 D. 至少有一个不小于
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果，则下列选项不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.设为非空实数集，若，都有，则称为封闭集其中正确结论的是( )
A. 集合为封闭集
B. 集合为封闭集
C. 若集合为封闭集，则为封闭集
D. 若为封闭集，则一定有
11.下列说法正确的有( )
A. 的最小值为
B. 已知，则的最小值为
C. 若正数、满足，则的最小值为
D. 设、为实数，若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合，，若，则的值为 ．
13.命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 ．
14.已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为设集合的累积值为．
若，则这样的集合共有 个；
若为偶数，则这样的集合共有 个
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求集合；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
设命题，不等式恒成立；命题，使得不等式成立．
若为真命题，求实数的取值范围；
若命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．
17.本小题分
解关于的不等式．
已知正数满足，求的最小值．
18.本小题分
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两侧墙的长度均为米．
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
19.本小题分
设集合为非空数集，定义，．
若，写出集合、；
若，，且，求证：；
若，且，求集合元素个数的最大值．
参考答案
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15.解：当时，集合，，
故；
当时，，
即，满足，
故满足题意；
当时，，
即时，
解得，
于是得，所以，
故实数的取值范围是．

16.解：，由题意可知，解得；
当为真命题时，对于二次函数，其图象对称轴为，在区间上有，则，
故，成立等价于，
即
若命题真假，结合可知且，故
若命题真假，结合可知且，故，
综上，．

17.解：由，得，
由，得．
当时，，所以不等式的解集为；
当时，，所以不等式的解集为；
当时，，所以不等式的解集为．
由于正数满足，
则，所以，所以，
设，则，且，
所以，整理得，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立．

18.解：设甲工程队的总造价为元，
则
，
，
当且仅当，即时等号成立，
即当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元．
由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而，
即恒成立，
又，
当且仅当，即时等号成立，
所以．
19.解：由题意，得，，
证明：因为，，且，
所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为，
又因为，所以且，
所以集合中其他元素为，，，
即，剩下的，
因为，所以，
即，即，所以
设，满足题意，其中，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
中最小的元素为，最大的元素为，
所以，
实际当，时满足题意，证明如下：
设，，
则，，
由题意得，
即，故的最小值为．
即时，满足题意，
综上所述，集合中元素的个数为个．

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