2024-2025学年山东省名校考试联盟高一上学期10月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省名校考试联盟高一上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“为自然数”是“为自然数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题；命题，则( )
A. 和都是真命题 B. 和都是真命题
C. 和都是真命题 D. 和都是真命题
4.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.已知集合，则( )
A. B. C. D.
6.如果，那么下列不等式正确的是( )
A. B.
C. D.
7.正确表示图中阴影部分的是( )
A. B. C. D.
8.若，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于的一元二次不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
10.若非空集合满足：，则( )
A. B. C. D.
11.长方体的长、宽、高分别为长方体的表面积为则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.“，”的否定是 ．
13.某校学生积极参加社团活动，高一年级共有名学生，其中参加合唱社团的学生有名，参加科技社团的学生有名并非每个学生必须参加某个社团在高一年级的学生中，同时参加合唱社团和科技社团的最多有 名学生，最少有 名学生．
14.已知，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.设集合，．
若且，求的取值范围；
若，求的取值范围．
16.如图所示，某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪．
若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度是多少
为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是多少？
17.已知函数．
若对任意，都有，求实数的取值范围；
若对任意满足的，都有，求实数的取值范围．
18.设，证明：的充要条件为．设，求证：至少有一个为负数．
19.设，求证：，设，求证：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.，
13.
14.
15.解：
因为，且，所以，解得，，
综上所述，的取值范围为．
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，解得，或无解；
综上所述，的取值范围为．

16.解：设花卉带的宽度为，
由题意得，
解得或舍去．
所以，若中间草坪面积为矩形土地面积的一半，
则花卉带的宽度为；
由题意得，
整理得，
解得或．
由实际意义得，
所以，若要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则花卉带的宽度的取值范围是
17.解：
依题意可得：，
解得，
所以实数的取值范围为．
对任意满足的，都有，
即，
又所以对恒成立，
由于，当且仅当时取等号，即当时等号成立．
所以，
即实数的取值范围为．

18.解：充分性：若，则，
，
，，
．
必要性：若，
则，，
，
．
方法一：假设，
，
，
，
，
，
，与矛盾，
至少有一个为负数．
方法二：假设，
，
，
，
，
与矛盾，
至少有一个为负数．

19.解：方法一：，，
，
．
方法二：，

．
方法三：
，
，
，
即．
方法四：几何法
如图，做边长为的正方形，分别在边上分别取点，
使得，
过做交于，交于，
过做交于，交于，
直线与交于点，
则长方形的面积，
长方形的面积，
正方形的面积，
由图可知，
所以．
方法五：设．
将看做内的常数，则函数为一次函数，
又，
．
对于，都有，
即．
．
方法一：，
，
，
．
，
．
方法二：，
，
，
，
．
，
．
方法三：几何法
做边长为的正方体分别在棱上取点，使得，
过做平面，过做平面，过做平面，交点见图．
长方体的体积，
长方体的体积．
长方体的体积．
正方体的体积．
．
方法四：设．
将看做内的常数，对于一次函数，
有，
．
对于，都有，
即．
．

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